汽车变截面钢板弹簧的设计计算东风汽车工程研究院 陈耀明 2006年5月前 言少片变截面钢板弹簧在我国已有多年的制造和使用经验，特别是大、中型客车，采用者相当广泛。

然而，涉及变截面簧的设计计算方法，虽然二十几年前悬架专委会曾做过一些介绍，但资料零散、重复、不完整，尤其是比较常用的加强型变截面簧，资料反而欠缺。

撰写本文的目的，就是为悬架设计者提供变截面簧的比较完整的设计计算资料，主要是刚度计算公式和应力分布计算方法。

变截面簧轮廓线包括梯形和抛物线形两大类，每类又含有根部、端部加厚，或只有根部加厚，或都不加厚等几种变型。

这样，可以说几乎所有的变截面簧轮廓线都可在本文找到计算公式。

此外，本文还介绍了各种轮廓线的选型原则以及若干设计经验等，可供设计人员参考。

附录中列出已有资料中的一些计算公式，并证明了它们和本文公式的一致性。

本文的式（1）～（3）引自日本资料“自动车用重型钢板弹簧”，其它公式（6）～（15）是笔者近期重新推导出来的。

当然，有一些和过去推导出来的公式完全一致。

一、 纵截面为梯形的变截面弹簧这种弹簧的轧锥部分（3l ～4l 段）为梯形，而根部和端部都将厚度增大，称为加强型变截面簧，见图1。

图1为四分之一椭圆钢板弹簧，其刚度计算公式为：654321αααααα+++++=EK ----------------（1）若对称地扩展成为半椭圆钢板弹簧，其总刚度为：6543212αααααα+++++=EK ----------------（2）若弹簧由若干等长、相同轮廓线的叠片所组成，则其合成的总成刚度为：6543212αααααα+++++=nEK ----------------（3）式中 )/(10058.225mm N E ×=为弹性模数n 弹簧片数，单片弹簧1=n313114bt l =α⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+−+−−=1221112121221122212211132ln 223)(22212t t t Al t t l A t Al t t l A t Al t bA α )(43233323l l bt −=α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+−+−−=2322322223233223232223234ln 223)(22212t t t Bl t t l B t Bl t t l B t Bl t bB α ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+−+−−=3423432324244324242234335ln 223)(22212t t t Cl t t l C t Cl t t l C t Cl t bC α )(43536346l l bt −=α而 1212l l t t A −−=3423l l t t B −−=4534l l t t C −−=其中 b 弹簧宽度实际应用中，有些弹簧的轮廓线有所简化，见图2，其刚度计算式也有所变化： 1、增厚转折点急剧变化，2型。

这时，21l l = ，02=α ； 54l l = ，05=α 。

将1α ，3α ，4α ，6α代入式（1）～（3）求解。

2、没有加厚，为一般轮廓断面，3型。

这时，021==l l ，01=α ； 21t t = ，02=α ；54l l = ，43t t = ， 05=α 。

将3α ，4α ，6α代入式（1）～（3）求解。

3、端部没有平直段（非卷耳端、短轧锥），4型。

这时，021==l l ，01=α ； 21t t = ，02=α ； 03=l ，03=α ；54l l = ，43t t = ，05=α 。

将4α ，6α代入式（1）～（3）求解。

从图1可见，沿片长的应力分布为： )(x W n xP ⋅⋅=σ ---------------（4）式中 P 端部负荷x 端部至计算断面距离)(x W 计算断面的断面系数 n 弹簧片数 断面系数为：6)()(2x t b x W ⋅= ----------------（5）式中 )(x t 沿片长变化的厚度 b 弹簧宽度当10l x ≤≤ ， const t x t ==1)( 21l x l ≤≤ ， ))(()(211222t t l l xl t x t −−−+= 32l x l ≤≤ ， const t x t ==2)( 43l x l ≤≤ ， ))(()(233432t t l l l x t x t −−−+= 54l x l ≤≤ ， )()(344543t t l l l x t x t −−−+= 65l x l ≤≤ ， const t x t ==4)(对于2型弹簧，在根部和端部厚度有突变，该位置之应力也有突变。

二、 纵截面为抛物线形状的变截面弹簧这种弹簧的轧锥部分（1l ～2l ）为抛物线形状，该抛物线的顶点在端点（集中载荷作用点），而根部和端部都将厚度增大，以满足结构强度的要求，见图3。

该抛物线函数为：21122102123(()()(l xt l x t l x t x t === ---------------（6）图中所标尺寸定义如下：1l 端部加强（平直）段长度 1t 端部加强段厚度2t 端部平直段与抛物线交点处的厚度 2l 根部加强（平直）段距端点长度 4t 根部加强段厚度3t 根部平直段与抛物线交点处的厚度l 端点至根部总长度0t 抛物线延长段至根部交点处的厚度若设定： 32323)(t t I I ==η ，334341(t t I I ==η ，321212)(t tI I ==η ， 则各段惯性矩有如下关系：当10l x ≤≤ ， ηηηη23222323111212⋅=⋅=⋅⋅=⋅=I I t b t b I 当21l x l ≤≤ ， 2323232333)((1212)()(l x I l x t b x t b x I ⋅=⋅⋅=⋅=当l x l ≤≤2 ， 131333441212ηη⋅=⋅⋅=⋅=I t b t b I按照材料力学中求小挠度梁的挠度的方法，分三段积分，就可求到端点在P 力作用下的挠度（即变形）。

图3所示四分之一椭圆钢板弹簧的刚度为：333lk EI K ⋅=--------------（7） 其中，挠度系数31223213211)(2)12(1ληηλλληη⋅+⋅−−+=k --------------（8）式中 l l 11=λ ，ll22=λ ，而 12333t b I ⋅= --------------（9）b 板簧宽度请注意，此处所取惯性矩不是根部惯性矩，而是平直段与抛物线交点处的断面惯性矩。

这样选取只是为了方便与其它轮廓线的计算公式对比。

当然，若算式（7）要选取根部惯性矩来计算也是可以的，但挠度系数要相应改变。

143ηI I =Θ ，代入式（7），得3431433l k EI l k EI K ⋅′=⋅⋅=η --------------（10）3121232113211)(2)12(1ληηηλληληη⋅⋅+⋅−−+=⋅=′k k -----（11） 若对称地扩展成为半椭圆钢板弹簧，其总刚度为： 336lk EI K ⋅=--------------（12） 若弹簧由若干等长、相同轮廓线的叠片所组成，则其合成的总成刚度为： 336lk nEI K ⋅=--------------（13） 式中 n 弹簧片数)/(10058.225mm N E ×= 弹性模数在实际应用中，有些变截面簧只有根部加厚，端部不加厚，如图4之2型。

这时21t t = ，12=η ，式（8）变成3123213211)(212(1ληλλληη⋅+⋅−−+=k323)(t t =ηΘ ，又2121212132)()(λλ==l l t t2312(λλη=∴ ，232131)(λλλη⋅=⋅且3122(λλη= 代入上式，化简后得31323212)1(1ληλλη⋅−+−=k)12()1(132321ηλλη−+−= ---------------（14）还有些变截面簧端部、根部都不加厚，如图4之3型。

这时21t t = ，12=η ； 34t t = ，11=η ，式（8）变成 31232132)(21ληλλλ⋅+⋅−+=k 同样，化简后可得 31321ληλ⋅−+=k )11(132ηλ−+= --------------（15）对于抛物线的变截面簧，仍然可以采用式（4）、（5）来计算沿片长的应力分布，只是在抛物线区段，厚度的变化规律有所不同，即： 当10l x ≤≤ ，()(1t x t =或const t =)2当21l x l ≤≤ ，2123)()(l xt x t =当l x l ≤≤2 ，()(4t x t =或const t =)3平直段的厚度取决于板簧轮廓线属1型、2型或3型。

在抛物线区段，应力均匀分布，即等应力。

三、 设计要点 1、选用什么样的轮廓线----梯形或抛物线形？众所周知，在抛物线区段，应力分布是均等的，即为等应力的。

从理论上讲，这种轮廓线似乎是最理想的，其材料利用率是最高的。

然而，从另一方面看，亦即从“比例尺效应”的理论看，等应力分布并不一定是理想的设计。

大家知道，材料疲劳损伤、断裂都是从表面缺陷引发的，而由于材质或工艺上的原因，材料表面总有缺陷存在。

如果结构上高应力区所占的比例大，缺陷处在高应力点的概率就高，因此该结构就会出现早期损坏，即寿命降低。

相反，如果高应力区所占比例小，缺陷碰到高应力点的概率就低得多，该结构的寿命就会高得多。

这就是所谓的“比例尺效应”。

所以，选用什么样的轮廓线，取决于两个因素： （1） 最大应力处在什么部位。

如果最大应力位于根部（根部不加厚、加软垫或夹紧装置不是很强），那么轧锥部分可选用抛物线形，以获得较好的材料利用率，且可降低刚度。

这种选择多数用在轿车或轻型车的悬架上。

相反，大中型客车或货车，往往根部要加厚，最大应力点不在根部，而是在轧锥段。

这时选用梯形轮廓较合适，使最大应力局限在极值点的小区域，碰上缺陷的概率较低，使寿命提高。

（2） 弹簧材料和轧制工艺的优劣。

优质的材料和轧制工艺，使表面缺陷减少或减轻，也就可以选取抛物线形，让较多材料承受较高应力，以减轻重量。

反之，材质与工艺较差者，宜选用梯形轮廓线。

2、根部加强对于板簧根部较厚（20mm 以上），且U 形螺栓夹紧装置不是特别强，尤其是根部加有软垫者，应该采用加厚措施。

否则，由于夹不死，最大弹簧应力恰好处在中心孔位置上。

加上该孔有应力集中，其结果是在中心孔处早期断裂。

除了中心孔要倒角以减小应力集中外，加厚并取消软垫或改为硬垫是最有效措施。

简单说，大中型客、货车的变截面簧根部应加厚。

3、端部加强取决于卷耳强度要求。

对卷耳进行强度校核计算，确定该部位的板厚。