1 1 1
2 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( ML1T 2 )
2 2 2
3 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
3 3 3
4 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L)
二、因次分析法
因次分析π定理： 当某现象由n个物理量所描述（根本不能组成无因次综合量 的物理量不计在内），而这些物理量中有m个基本因次，则可 得到n—m个独立的无因次综合量，即相似准数 书上[例10-3] 有压管流中的压强损失。 分析思路：
描述该现象的物理量有：压强损失ΔP、管长l，管径d，管壁 粗糙度K、黏度ν、密度ρ、平均流速v -----（共7个物理量）
第五章 相似性原理和因次分析
第一节 力学相似性原理
相似的概念：
如果两个同一类的物理现象，在对应的时空点，各标量物 理量的大小成比例，各物理量除大小成比例外，且方向相同， 则称两个现象是相似的。 流体流动相似条件：
流动几何相似．运动相似，动力相似，以及流动的边界 条件和起始条件相似 一、几何相似 几何相似：指流动空间几何相似。即形成此空间任意相应 两线段夹角相同，任意相应线段长度保持一定的比例。
关系表示。或由定性物理量组成的相似准数，相互间存在着函数关 系。 例如：准则数1=（准则数1，准则数2，准则数3 · · · · · · · · · · · · ）
被决定的准数
（非定性准数）
决定性准数
（定性准数）
例如：大多数流体流动：Eu=（Fr,Re）
第三节 因次分析法
一、因次分析的概念和原理 因次（量纲）：物理量的性质和类别。 例如：长度---[L] 质量---[M] 与单位区别：单位除表示物理量的性质外，还包含着物理量 的大小． 基本因次：质量[m]=M 长度[l]=L． 时间[t]=T 温度[T]＝Θ
因次分析法：就是通过对现象中物理量的因次以及因次之间 相互联系的各种性质的分析来研究现象相似性的方法。它是 以方程式的因次和谐性为基础的。
完整的物理方程式中各项的因次应相同的性质。
例如：压强P单位： N/m2 , 因次：MLT-2/L2 = ML-1T-2 γh单位: N/ m3 · m, 因次: MLT-2/L3 · L= ML-1T-2 常用物理量因次：P281 表10-1
例如：重力、粘性力、压力、惯性力、弹性力。
同名力作用：指原型流动中，如果作用着粘性力、压力、重力、 惯性力、弹件力，则模型流动中也同样的作用着粘性力、压力、 重力、惯性力牌性力。 相应的同名力成比例：指原型流动和模型流动的同名力成比例。
F FPn FGn FIn FEn n F FPm FGm FIm FEm m
Fn Fvm FIn FIm
v2 Fr称为傅鲁得数：表示惯性力与重力之比 Fr gl vl Re Re 为雷诺数：表示惯性力与粘性力之比 v
二、由运动微分方程式推导相似准数：P274 三、相似三定理
相似第一定理：彼此相似的现象，其单值条件相似，对应部位上
同名相似准数必定相等．即相同名称的相似准数分别相等。
将以上两力带入（1）中的
FPn Fpm FIn FIm
2 2 pnln pmlm 2 2 2 2 vn ln vmlm
Fpm FPn FIn FIm
，则：
pn pm 2 2 vn vm
Eu
p
v 2
Eu称为欧拉数：表示压差与惯性力之比 同理：
FGn FGm FIn FIm
F F n In F FIm m Fn F vm FIn FIm
（1）
2 2 作用于此两立方体的压力为： Fpn pnln Fpm pmlm 作用于此两立方体的惯性力为： 2 2 2 2 F Q v v FIn Qnvn vn l n Im m m ml m
单值性条件：指把某一现象从无数个同类现象中区分开来的条件，其包括几何条 件（形状与大小），边界条件（进口与出口的速度分布，壁面上流速大小等）和 初始条件（初始的速度分布特点）。
相似第三定理：各现象的单值性条件相似，且对应部位上同名的
相似准数相等，则这些现象相似。(相似第一定理的逆定理）
相似第二定理：描写现象的方程式可以改用相似准数的单值函数
在这7个物理量中，基本因次数为3个，因而可得到4个无因重复变量，把其他的4 个变量作为一 个变量组合起来
取:管径：[d]=L
平均流速：[v]=LT-1 密度：[ρ]=ML-3 黏度[ν]=L2T-1 作为重复变量
管长[l]=M
压强损失[ΔP]= ML-1T-2 作为一个变量
管壁粗糙度[K]=M
用这些未知数写出无因次参数：
1 2 3 4
v 1 d 1 1 v 2 d 2 2 p v 3 d 3 3 l v 4 d 4 4 K
将各量因次代入：
1 ( LT 1 ) ( L) ( ML3 ) ( L2T 1 )
式中：ν、P、G、 I、E表示粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。
第二节 相似准数
一、由动力相似的定义推导相似准则 思路：设想在两相似水流中． 取两个相似质点原型n和模型m， 质点是边长为ln、lm的立方体。 研究两质点受力： 粘性力、压力、重力、惯性力 Fpm FPn FPn FIn FIn FIm FPm FIm 则动力相似： F FGn FGm FIn Gn FIn FIm FGm FIm
例如：
相应线段夹角相同： n m 相应的线性长度保持一定的比例：
二、运动相似
dn l n l dm lm
运动相似：两流动运动相似，相应点的流速大小成比例，方向相同。
un1 un 2 v um1 um 2
三、动力相似 流动的动力相似：要求同名力作用，相应的同名力成比例。 同名力：同一物理性质的力。