2011年中考数学压轴题精选精析（10例）1、（2011•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；（3）已知▱AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。
专题：综合题；分类讨论。
分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1，∵点D在以AB为直径的半圆上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=错误！未找到引用源。
，∵AE∥BF，∴两条射线AE、BF所在直线的距离为错误！未找到引用源。
．（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=错误！未找到引用源。
或﹣1＜b＜1；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜错误！未找到引用源。
（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：①当点M在射线AE上时，如图2．∵AMPQ四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的上方，∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，∴0＜PQ＜错误！未找到引用源。
．∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0＜AM＜错误！未找到引用源。
∴﹣2＜x＜﹣1，②当点M不在弧AD上时，如图3，∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则OR∥BF，当点M在弧DR上时，如图4，过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，∴0≤x＜错误！未找到引用源。
．当点M在弧RB上时，如图5，直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形．④当点M在射线BF上时，如图6，直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1或0≤x＜错误！未找到引用源。
．点评：本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．2、（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）．（1）求c，b （用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，错误！未找到引用源。
；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．考点：二次函数综合题。
分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；（3）根据图形，即可直接求得答案．解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=﹣t；（2）①不变．如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°；②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM=错误！未找到引用源。
（t﹣4）（4t﹣16）+错误！未找到引用源。
[（4t﹣16）+（t﹣1）]×3﹣错误！未找到引用源。
（t﹣1）（t﹣1）=错误！未找到引用源。
t2﹣错误！未找到引用源。
t+6．解错误！未找到引用源。
t2﹣错误！未找到引用源。
t+6=错误！未找到引用源。
，得：t1=错误！未找到引用源。
，t2=错误！未找到引用源。
，∵4＜t ＜5，∴t1=错误！未找到引用源。
舍去， ∴t=错误！未找到引用源。
．（3）错误！未找到引用源。
＜t ＜错误！未找到引用源。
．点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．3．（2011•江苏南京）问题情境:已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型:设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x=+＞． 探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1(0)y x x x=+＞的图象性质．４．填写下表，画出函数的图象：x …… 14 13 121 2 3 4 …… y …………②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y =ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1y x x=+(x ＞0)的最小值． 解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【答案】 解:⑴① x ……14 13 121 2 3 4 …… y …… 174 103 52 252 103 174……函数1y x x=+(0)x >的图象如图． ②本题答案不唯一，下列解法供参考．当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数1y x x=+(0)x >的最小值为2． 1 xyO 13 4 5 2 23 54－1－1③1y x x=+=221()()x x +=22111()()22x x x x x x +-⋅+⋅ =21()2x x-+ 当1x x -=0，即1x =时，函数1y x x=+(0)x >的最小值为2． ⑵仿⑴③2()ay x x=+=222()()a x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=222()()22a a a x x x x x x ⎡⎤+-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦=22()4a x a x-+ 当a x x -=0，即x a =时，函数2()(0)ay x x x=+＞的最小值为4a ． ⑵当该矩形的长为a 时，它的周长最小，最小值为4a ． 【考点】画和分析函数的图象, 配方法求函数的最大(小)值．【分析】⑴将x 值代入函类数关系式求出y 值, 描点作图即可. 然后分析函数图像.⑵仿⑴③2()ay x x=+=222()()a x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=222()()22a a a x x x x x x ⎡⎤+-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦=22()4a x a x-+ 所以, 当a x x -=0，即x a =时，函数2()(0)ay x x x=+＞的最小值为4a 4．（2011•江苏杨州）在ABC △中，90BAC AB AC M ∠=<°，，是BC 边的中点，MN BC ⊥交AC 于点N ．动点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒3厘米的速度运动．同时，动点Q 从点N 出发沿射线NC 运动，且始终保持MQ MP ⊥．设运动时间为t 秒（0t >）． （1）PBM △与QNM △相似吗？以图１为例说明理由；（2）若6043ABC AB ∠==°，厘米． ①求动点Q 的运动速度；②设APQ △的面积为S （平方厘米），求S 与t 的函数关系式；（3）探求22BP PQ CQ 2、、三者之间的数量关系，以图１为例说明理由．【答案】解：（1）PBM QNM △∽△． 理由如下： 如图1，MQ MP MN BC ⊥⊥，，∴9090PMB PMN QMN PMN ∠+∠=∠+∠=°，°， ∴PMB QMN ∠=．9090PBM C QNM C ∠+∠=∠+∠=°，°，∴PBM QNM ∠=∠． ∴PBM QNM △∽△．（2） 9060283BAC ABC BC AB ∠=∠=∴==°，°，cm ． 又 MN 垂直平分BC ，43BM CM ∴==cm ．3303C MN CM ∠=∴=°，＝4cm ． ①设Q 点的运动速度为v cm/s ．如图１，当04t <<时，由（1）知PBM QNM △∽△．NQ MNBP MB ∴=，即4133vt v t =∴=，． 如图2，易知当4t ≥时，1v =． 综上所述，Q 点运动速度为1 cm/s ． ② 1284cm AN AC NC =-=-=，∴如图1，当04t <<时，4334AP t AQ t =-=+，．ABP N QC M ABCNM 图1图2（备用图）∴12S AP =()()21343348322AQ t t t =-+=-+·． 如图2，当t ≥4时，343AP t =-,4AQ t =+,∴12S AP =()()21334348322AQ t t t =-+=-·． 综上所述，()()2238304238342t t S t t ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≥（ ）222PQ BP CQ =+ 理由如下：如图 ，延长QM 至D ，使MD MQ =，连结BD 、PDBC 、DQ 互相平分，∴四边形BDCQ 是平行四边形，∴BD CQ∥. 90BAC ∠=°，∴90PBD ∠=°，∴22222PD BP BD BP CQ =+=+． PM 垂直平分DQ ，∴PQ PD =．∴222PQ BP CQ =+【考点】相似三角形的判定,。