绝密★启用前
2019年第一次全国大联考【新课标Ⅰ卷】
理科数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集U =Z ，集合{|(3)0,}P x x x x =-≥∈Z ，{|0}Q x x =>，则()
U P Q ð等于
A ．(0,3)
B ．{12},
C ．(0,2)
D ．{2}
2．若复数z 满足(1i)1i z -=+，i 为虚数单位，则2019z = A ．2i - B ．i C ．i - D ．2i
3．已知命题p ：“对任意的1x ≥，ln 0x ≥”的否定是“存在01x ≥，0ln 0x <”，命题q ：“01k <<”是“方
程2220x y ky k ++++=表示圆”的充要条件，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．p q ⌝∨
D ．p q ⌝∧ 4．已知单位向量,a b 满足20||+-⋅=a b a b ，则+2||a b = A ．3 B ．2
C ．9
D ．4
5．已知π20
sin d a x x =
⎰
，若执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 6．函数()||sin 2f x x x x =-的大致图象是
A B
C D
7．已知二项式12()2n
x x
-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为 A ．20
B ．20-
C ．40
D ．40-
8．如图所示为某三棱锥的三视图，若该三棱锥的体积为
8
3
，则图中x 的值为
A ．3
B ．
7
2
C ．4
D ．
92
9．如图，边长为a 的正三角形内有三个半径相同的圆，这三个圆分别与正三角形的其中两边相切，且相
邻的两个圆互相外切，则在正三角形内任取一点，该点恰好落在阴影部分的概率为
A
B
10．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，若2sin 2sin sin 0A B C -=，则
sin sin sin B C
A
+的取值范围为
A ．
B ．
（1
C ．
）
D ．
（1
11．若函数12
()(0)
()2ln (0)
x x f x x
x x a x ⎧+<⎪=⎨⎪->⎩恰有三个零点，则a 的取值范围为 A ．1[,0]e
-
B ．（1
0e
,）
C ．1[0,]e
D ．（1
0e
,-
） 12．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，过左焦点1F 的直线l 的倾斜角θ满足1tan 3θ=，若直
线l 分别与双曲线的两条渐近线相交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线恰好经过双曲线的右焦点2F ，则该双曲线的离心率为 A
B
C
D
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知实数,x y 满足约束条件322128y x y x y x ≥-+⎧⎪
≤--⎨⎪≤+⎩
，则目标函数22z x y =+的最大值为______．
14
．若3()log )2f x x x =-，则满足不等式2(23)0f m m --<的m 的取值范围为______． 15．已知函数π()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移1个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数()g x
的图象，若
()()2cos 4x
h x g x =+在0x 处取得最大值，则0sin 2
x =______．
16．已知直线:10l kx y -+=与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，O 为坐标原点，抛物线C 的准线与
x 轴的交点为P ，若0OA OB ⋅<，则PA PB ⋅取最小值时的直线l 的方程为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知{}n a 是公差为2的等差数列，且12312a a a ++=，{}n b 是公比为3的等比数列，且131
2
b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令n n n
c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1=CA ，2=CB ，︒=∠90BCA ，侧棱21=AA ，M 为AB 的中点．
（1）求异面直线11,AB CA 所成角的余弦值；
（2）若N 为A A 1上一动点，求N 在何位置时1CB ⊥BN ； （3）求二面角B CM B --1的余弦值．
19．（本小题满分12分）
2018年11月26日，南方科技大学的贺建奎团队宣布一对名为露露和娜娜的基因编辑婴儿于11月在中国健康诞生，这对双胞胎的一个基因经过修改，使她们出生后即能天然抵抗艾滋病病毒，这是世界首例免疫艾滋病的基因编辑婴儿.当即122位生物医学领域科学家联名谴责，称“此项技术早就可以做”，不做的原因是巨大的风险和伦理问题，直指这项所谓研究的生物医学伦理审查形同虚设，直接进行人体实验，只能用“疯狂”来形容.针对这件事某部门就“基因编辑婴儿”的看法随机抽取40人进行了问卷调查，其中男、女各20人，将问卷得分情况制作茎叶图如下：
（1）将得分不低于80分的称为“A类”调查对象，某部门想要进一步了解“A类”调查对象的更多信息，将调查所得的频率视为概率.
①若从“A类”调查对象中抽取2人，求抽取的2人是同性的概率；
②若从“A类”调查对象中抽取3人，设被抽到的3人中女性人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
（2）通过问卷调查，得到如下22
⨯列联表.完成列联表，并说明能否有99％的把握认为是否是“A 类”调查对象与性别有关？
附参考公式与数据：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b a c b d c d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
20．（本小题满分12分）
(，离心率是2
2
，直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭
圆交于N M ,两点(N M ，两点均位于y 轴的右侧)，与y 轴交于Q 点． （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在直线l ，使得114
0||||||
QM QN QF +-=成立？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分12分）
已知函数()1ln a
f x x x
=-
-(0a >). （1）讨论函数()f x 在区间(0,2)上的单调性； （2）当2=a 时，求函数1
()()g x f x x
=+的最值； （3）已知*n ∈N ，且2≥n ，求证：1111
1
ln
.2234n n
+<++++ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x t
y t =-⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ． （1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线π
(0)2
θαα=<<与直线l 交于点M ，
与曲线2C 交于点N （N 与原点不重合），求||||ON OM 的最大值.
23．（本小题满分10分）选修4−5：不等式选讲
已知函数()|3|||f x x m x =--.
（1）若2m =-，求不等式()5f x <的解集；
（2）若关于x 的不等式()1f x ≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.。