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6-6 广义积分与伽玛函数

微积分 六⑤
x1
dx
C .
1 0
x 2x 1
3
x 1
2
dx
D . e x 1 dx
0
1
1
20/32
1. 设f(x)在(a,b]连续,x=a 为瑕点(即 xlim f ( x ) ) a

若 lim a f ( x ) dx 极限存在,则称瑕积分 a f ( x ) dx 0
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约定记号:若 F ( x ) f ( x ) 则

a
f ( x )dx F ( x )
0
a
lim F ( x ) F ( a )
x

上题可以写成:
(2) x e
x
dx 0
x 0
xde
x
[ xe



e
0
x
微积分 六⑤
c
c

f ( x ) dx
是否收敛.
结论如下:如果这两个积分都收敛,则原积分也收敛
f ( x ) dx
,否则原积分发散.
其中任何一个无穷积分发 散,则原积分发散
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例5. 计算广义积分 解:


dx 1 x
2
2
.
dx 1 x
2
x
f (x)
1 0

2 e
f (1 ) f ( 0 )
0
f (1 )

1 1
e dt 0
2 e 1 e 1
t
f (0) 3 e

e dt e
t
t
1 0

1 e
1
1
原式
微积分 六⑤
1
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4 .已 知 [ f ( x ) f ( x )] sin xdx 5 , f ( ) 2, 求 f ( 0 ) .
反常积分 1
微积分 六⑤
dx x

在 1 收敛;在 1 时发散.
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例4. 下列积分收敛的是( C )
A

2
dx x
, B

1
dx x
, C

2
dx x
, D 2

1
x dx
2
3. 形如 f ( x ) dx 的积分 对于积分 f ( x ) dx 我们采取将其一分为二的方法, 考虑如下的两个积分 f ( x ) dx 与 c 且 f ( x ) dx f ( x ) dx c 注意:c为常数,通常取0或1

x
2
e dt 求
x
2
t
1 t

1 0
x f ( x ) dx
x
2

f ( x ) (
e dt ) e
1 0
(2 x )
1 0
1

1 0
x f ( x ) dx

2
xd f ( x ) x f ( x )
1 0


1 0
f ( x )d x
2x e
(1 )

ln x d x ;
1
( 2)

xe
0
x
dx;
解: (1 )

1
ln x d x lim
t 1
t

t 1
t
ln x d x
1

t 1
ln x d x x ln x
t 1

t ln t x
lim
t
x t ln t t 1
x
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引入定积分概念时,有两个基本要求: 1、积分区间[a,b]是有限的; 2、被积函数f(x)在[a,b]上是有界的。 这种通常意义下的积分称为常义积分。 破坏这两个条件中的一条,就称为反常积分或广义 积分。 即: b 若[a,b]变为无限区间,则称 a f ( x ) dx 为无穷限积分
2
lim [ln( 1 x ) | 0 ]
2 b b
所以 0
2 xdx 1 x
2
发散,从而

2 xdx 1 x
2
也发散.
如果用奇函数对称区间上积分性质则有:


2 xdx 1 x
2

0
微积分 六⑤
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如果 f(x)在区间[a,b]上某点无穷间断,则称该点为 f(x)的瑕点,并称积分 a f ( x ) dx 为瑕积分. 瑕积分比广义积分难,难在瑕点不容易发现。如:
dx ]
lim [ te
t
t
e
t
1] 1
微积分 六⑤
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练习:判别下列各反常积分的敛散性.
(1)

e
e
x
0
dx , (2)

dx x
x
1

(1 )


x
dx lim
b
0
b

b
e
dx lim ( e
b
x
b
)
0
0
0 2
1

2
0
dx 1 x

b
0

dx 1 x
2
lim
a a 1
a
dx lim
0 a
x
b 0 1
b
1 x
2
dx
b 0
lim arctan x
lim arctan x
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2 dx dx 2 2 arctan x 0 2 2
0


原式=


0
f ( x ) sin xdx


0
f ( x ) sin xdx

0



0
f ( x ) d cos x


sin xd f ( x )
= [ f ( x ) cos xdx
[ f ( x ) sin x ] 0

1 x
2
0
1 x
2
奇偶函数对称区间上积分性质对广义积分不适用! 对否?
微积分 六⑤
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奇偶函数对称区间上积分性质对广义积分不适用! 例6. 积分
解:0


2 xdx 1 x
2
是否收敛?
b
2 xdx 1 x

2
lim 0
b
2 xdx 1 x

b
b
收敛,记为 a f ( x ) dx lim a f ( x ) dx 0

b
b
注意:瑕点就是无穷间断点. 2.设f(x)在[a,b)连续,x=b 为瑕点(即 xlim f ( x ) ) b
1
1
1
1 t 1 1 1 lim t 1 1 记住结论! 1 1 当
1


1
dx x



1
dx x

ln x |1

lim ln t ln 1
t
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1. 若3 f (ax )dx 2 f ( x )dx , 则a ____ .
0 0
1
a
1 1 ex 2 .设 f ( x ) 1 1 x
3. f ( x )

x 0 x 0 ,求
2 0
f ( x 1 ) dx .

x
2
e dt 求
设 f(x)在 ( , b ] 连续,如果 lim

b
t

b t
f ( x ) d x 极限存
f ( x ) d x 收敛,并称此极限为反
常积分的值,记为

b
f ( x ) d x lim
t

b
f ( x )d x
t
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例2.判别下列积分的敛散性,收敛时求其值.

2
x
2.2、概念 形如


f ( x )d x
a

b
f ( x )d x


f ( x )d x
的积分称为无穷限积分
微积分 六⑤
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1.
a

f ( x ) dx
t
设 f(x)在 [ a , ) 连续, 如果 lim 则称反常积分 a

a

t a
f ( x ) d x 极限存在
f ( x ) dx 收敛, 并称此极限为广义
积分的值,记为 2. f ( x ) dx 在则称反常积分
微积分 六⑤
b

f ( x ) d x lim
t

t
f ( x )d x
a
如果上式极限不存在,则称广义积分发散. (请同学们参照1.给出定义)
若 f(x) 为无界函数,则称 a f ( x ) dx 为瑕积分
b
微积分 六⑤
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