0
80
8
4
(3)
x
4
e
x2 2
dx
x 2t
4
2
t 4et2 dt
0
0
x 2t
2
22
t 4et2 dt
0
2 2 (5) 2 2 3 1 (1) 3 2
2
22 2 2
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内容小结
主讲人： 苏本堂
两种常见形式 ( ) x 1ex d x ( 0) 0 2 ex2 x2 1 d x ( 0) 0
0
0
(分部积分)
( )
注意到: (1)
n N , 有
ex d x
0
1
(n 1) n (n) n (n 1) (n 1)
n!(1)
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(2) 两个特殊的值:
(1) ex d x 0
利用这2个特殊函数值及递推公式可以算出
( n ) n N
2
如果n是偶数，则n/2是正整数，利用递推公式可以递推到 (1)；
如果n是奇数，n/2是1/2的倍数，利用递推公式可以递推到( 1). 2
如n=6，则 ( n ) =( 6)=(3) =2！=2； 22
如n=5，则
( n ) =( 5)=( 3 +1)= 3 ( 3)= 3 ( 1 +1)= 3 1 ( 1 ) = 3 . 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4
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函数主讲人：ຫໍສະໝຸດ 苏本堂一、 函数的定义 二、 函数的性质
三、 函数的应用
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预备知识
主讲人： 苏本堂
定义1. 设 f (x) C [a , ),取 b a , 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C ( , b], 则定义
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主讲人： 苏本堂
若 f (x) C ( , ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
一个递推关系 ( 1) ( ) ( 0)
特别地
(n 1) n!
两个特殊值 (1) 1
利用递推公式计算
( n ) 2
n N
令x t2,得
2 t e 21 t2 d t 0
2 x e 21 x2 d x 0
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二、 函数的性质
(1) 递推公式 ( 1) ( ) ( 0)
证: ( 1) x ex d x x d ex
0
0
x ex x 1ex d x
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三、 函数的应用
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例1. 计算下列积分
(1) xe3xdx 0
(3)
x
4e
x2 2
dx
0
(2) x2e2xdx 0
解:(1)
x t 3
xe3xdx
1
tet dt
1 (2) 1
0
90
9
9
(2)
x 2e 2 x dx
x t 2
1
t 2etdt 1 (3) 1
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
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一、 函数的定义
( ) x 1ex d x ( 0) 0
可证明这个特殊函数在 0 内收敛 .
( )的其他形式
( ) 2 x e 21 x2 d x ( 0) 0
这是由于