导数在函数求最大值和最小值中的应用例1．求函数f (x )＝5x ＋.解析：由3040x x +⎧⎨-⎩≥≥得f (x )的定义域为－3≤x ≤4，原问题转化为求f (x )在区间[－3, 4]上的最值问题。

∵ y ’＝f ’(x )＝5 在[－3，4]上f ’(x )＞0恒成立, ∴ f (x )在[－3，4]上单调递增．∴ 当x ＝－3时y min ＝－15－7， 当x =4时y max =20＋27，∴ 函数的值域为[－15－7，20＋27].例2．设32<a <1，函数f (x )＝x 3－23ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1求a , b 的值。

解析：f ’(x )=3x 2－3ax =3x (x －a )，当x 变化时，f ’(x ), f (x )的变化情况列表如下：当x =0时, f (x )取极大值b ，而f (0)>f (a )，f (－1)<f (1)，∴ 需要比较f (0)与f (1)的大小，∵ f (0)－f (1)＝23a －1>0，∴ f (x )的最大值为f (0)＝b －1， 又f (－1)－f (a )=21(a 3－3a －2)=21(a +1)2(a －)<0， ∴ f (x )|min =f (－1)，∴ －23a －1+b =－23a =∴ ab =1. 例3．若函数f (x )在[0，a ]上单调递增且可导，f (x )<0，f (x )是严格单调递增的，求()f x x 在(0，a ]上的最大值。

解析：2()'()()[]'f x f x x f x x x⋅-=，∵ f (x )是严格单调递增的， ∴ f ’(x )>0，∵ f (x )<0，x >0，∴f ’(x )·x －f (x )>0，∴ 2()'()()[]'f x f x x f x x x ⋅-=>0，∴ ()f x x在(0，a ]上是增函数。

∴ ()f x x 在(0，a ]上最大值为()f a a ． 例4．设g (y )＝1－x 2＋4 xy 3－y 4在y ∈[－1，0]上最大值为f (x )，x ∈R ，① 求f (x )表达式；② 求f (x )最大值。

解析：g ’(y )=－4y 2(y －3x ), y ∈[－1, 0]，当x ≥0时，g ’(y )≥0，∴ g (y )在[－1, 0]上递增, ∴ f (x )=g (0)=1－x 2. 当－31<x <0时，g ’(y )>0，在[－1，3x ]上恒成立，在(3x ，0)上恒成立， ∴ f (x )=g (3x )=1－x 2+27x 4.当x ≤－31时，g ’(y )，g (y )在[－1，0]上递减, ∴ f (x )=g (－1)=－x 2－4x , ∴ f (x )=224210112703143x x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪-+-<<⎨⎪⎪---⎪⎩≥≤. ② 当x ≥0时，f (x )≤f (0)=1，当x ∈(－31，0)时，f (x )=27[(x －154)2－2154]+1<f (－31)=119, 当x ≤－31时， f (x )＝－( x ＋2)2＋4≤f (－2)＝4, ∵ 1<119< 4，∴ f (x )|max ＝f (－2)＝4. 例5．设函数f ( x )＝3x 2+3a x (x ∈(0，＋∞))，求正数a 的范围，使对任意的x ∈(0，＋∞)，都有不等式f (x )＞20成立。

解析：f ’(x )＝6x －43a x ，令f ’(x )=0得 x ＝15()2a ， 当0<x <15()2a 时，f ’(x )＜0，当x >15()2a 时f ’(x )＞0， ∴ x ＝15()2a 是唯一的极值点，是极小值点且是最小值点. 要使f (x )≥20恒成立，∴ f (x )|min ≥20,∴ 12255532555(())3()2022()22a a a f a a =⋅+=⋅≥, 解得a ≥64. 例6．圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为h ，底面半径为R ，则S =2πRh +2πR 2，∴ h =222S R Rππ-, ∴ V (R )＝S 底面·h =2222122S R R SR R R ππππ-⋅=-, 由V ’(R )=0得21S －3πR 2=0得S =6πR 2，∴ 6πR 2=2πRh +2πR 2，∴ h =2R ， 即当罐的高和底面直径相等时容积最大．例7．已知三次函数f (x )=x (x －a )(x －b )，其中0＜a ＜b ．（1）设f (x )在x ＝s 及x =t 处取最值，其中s ＜t ，求证：0＜s ＜a ＜t ＜b ；（2）设A (s ，f (s ))，B (t ，f (t ))，求证：AB 中点C 在曲线y ＝f (x )上；（3）若a ＋b ＜22，求证：过原点且与曲线y ＝f (x )相切的两直线不可能垂直。

解析：（1）f ’(x )＝3x 2－2(a ＋b )x +ab ，由f (x )在x ＝s 和x ＝t 处取最值，∴ s ，t 分别是方程f ’(x )＝0的两实根．∵ f ’(0)=ab >0，f ’(a )＝3a 2－2(a ＋b )a +ab =a (a －b )<0，f ’(b )＝b 2－ab =b (b －a )>0，∴ f ’(x )＝0在(0，a )及(a ，b )内分别有一个实根，∵ s <t ，∴ 0＜s ＜a ＜t ＜b .（2）由s ，t 是方程f ’(x )＝0的两根．∴ 2()33a b s t ab st +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴ f (s )+f (t )=342()()273a b ab a b -+++, ∵ 3211()()()()[()()]232732s t a b f f a b ab a b f s f t ++==-+++=+, ∴ AB 的中点C (2s t +，f (2s t +))在曲线y =f (x )上. （3）过曲线上点(x 1，y 1)的切线方程为y －y 1=[3x 12－2(a ＋b )x 1+ab ](x －x 1),由y 1=x 1(x 1－a )(x 1－b )且切线过原点．∴ －x 1(x 1－a )(x 1－b )=－x 1[3x 12－2(a ＋b )x 1＋ab ],当x 1=0时，切线的斜率为k 1=ab ，当x 1=2a b +时，切线斜率为－41(a +b )2+ab ， ∵ a , b >0，a +b <22，∴ k 1k 2=[－41(a +b )2+ab ], Ab =(ab )2－41(a +b )2+ab >(ab )2－2ab =(ab －1)2－1≥－1 ∴ k 1k 2≠－1，即两切线不可能垂直。

例8 、设函数f （x ）=x 3+mx 2+nx +p 在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x =2是方程f （x ）=0的一个根.（1）求n 的值；（2）求证：f （1）≥2.剖析：由题知x =0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x =2吗?不一定.会在x =2的哪一侧呢?解：（1）f '（x ）=3x 2+2mx +n .∵f （x ）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，∴当x =0时，f （x ）取到极大值.∴f '（0）=0.∴n =0.（2）∵f （2）=0，∴p =－4（m +2），f '（x ）=3x 2+2mx =0的两个根分别为x 1=0，x 2=－32m ， ∵函数f （x ）在［0，2］上是减函数，∴x 2=－32m ≥2.∴m ≤－3. ∴f （1）=m +p +1=m －4（m +2）+1=－7－3m ≥2.评述：此题学生往往错误地认为x =2是另一个极值点.再证f （1）≥2时，首先将f （1）化成关于m 的式子，知道m 的范围，便可证之.例9、已知函数f （x ）=4x 3+ax 2+bx +5的图象在x =1处的切线方程为y =－12x .（1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在［－3，1］上的最值.解：（1）f '（x ）=12x 2+2ax +b ，f '（1）=12+2a +b =－12. ① 又x =1，y =－12在f （x ）的图象上，∴4+a +b +5=－12.②由①②得a =－3，b =－18，∴f （x ）=4x 3－3x 2－18x +5. （2）f '（x ）=12x 2－6x －18=0，得x =－1，23，f （－1）=16，f （23）=－461，f （－3）=－76，f （1）=－13. ∴f （x ）的最大值为16，最小值为－76.例14（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第22题）已知函数()ln a f x x x =-， （1）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；（2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．（2）由（1）可知：2()x a f x x +'= ① 若1a ≥-，则0x a +≥，()f x 在[1,]e 上为增函数，② 若a e ≤-，则0x a +≤，()f x 在[1,]e 上为减函数，③ 若1e a -<<-，令()0f x '=得x a =-，当1x a <<-时，()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数，当a x e -<<时，()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数，min 3[()]()ln()12f x f a a a ∴=-=-+=⇒= (3)令232116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x -''=-==+-=-=，。