三角形的证明
（本试卷满分：150分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1.具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）
A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等
C．两边和其中一边的对角对应相等D．两个直角三角形中的一条直角边、斜边对应相等2.已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（）
A．∠CAD＜∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＞∠CBDD．无法判断
3.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）
A．30°B．40°C．45°D．36°
4.下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）
个个个个
5.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）
或10或12
6.如图，已知∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，下列结论：
①EM=FN②CD=DN③∠FAN=∠EAM④△ACN≌△ABM
其中正确的有（）
个个个个
7.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4cm，则最长边AB的长是（）
A.5cm
B.6cm D.8cm
8.如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，下列条件能使△ABC≌△ADE的是（）
A.∠E=∠C=AC=DE三个答案都是
9.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）
个个个个
10.已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果AC
=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）
A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.9cm
12.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
二、填空题（每小题4分，共24分）
13.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.
14.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是______三角形.
15.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=____ ____°.
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_____ __.
17.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=__ _______，AE:EC=_________.
18.在△ABC中，AB=4,AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是.
三、解答题（共78分）
19.如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MA=MD.
20已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证：△ADF是等腰三角形．
21.如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD=CE.
22.如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若AB=，求BE的长.
23.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
24.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是边AB垂直平分线交AB于E，交AC于D，连结BD．（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数．
（2）若△BCD的周长为12cm，△ABC的周长为18cm，求BE的长．
25.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图（1），若PA=PB，则点P为△ABC的准外心.
(1)应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠A PB的度数.
(2)探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探PA的长.
26.如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
27.△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且B E=EO．
（1）说明OF与CF的大小关系；
（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．
参考答案
一、选择题
．二、填空题
°；14.直角；15，15°；16.20cm；17.；1:3；:3；
三．解答题
19.证明：∵MD⊥BC，∠B=90°，∴AD∥MD，∴∠BAD=∠D.
又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD，∴MA=MD.
20.∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵DE⊥BC于点E，∴∠FEB=∠FEC=90°．
∴∠B+∠EBD=∠C+∠EFC=90°．∴∠EFC=∠EDB．
∵∠EDB=∠ADF，∴∠EFC=∠ADF．∴△ADF是等腰三角形.
21.∵AE∥BD，∴∠EAC=∠ACB.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∴∠EAC=∠B.
又∵∠BAD=∠ACE=90°，∴△ABD≌△CAE（ASA）.∴AD=CE.
22.因为△ABD和△CDE都是等边三角形，
所以AD=BD,CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.
所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB，
即∠ADC=∠BDE.
在△ADC和△BDE中，因为AD=BD,CD=DE,∠ADC=∠BDE
所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.
又AC=BC，所以BE=BC.
在等腰直角△ABC中，AB=,所以AC=BC=1，故BE=1.
23.，BE⊥EC.
证明：∵，点D是AC的中点，∴.
∵∠∠45°，∴∠∠135°.
∵，∴△EAB≌△EDC.
∴∠∠.
∴∠∠90°.∴⊥.
24.(略)
25.应用：若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC.
∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PBN=2PD
∴
∴
与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC.
若PA=PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.
若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠BPD=45°，∴∠APB=90°.
探究：若PB=PC，设PA=x，则x2+32=(4-x)2，∴x=，即PA=.
若PA=PC，则PA=2.
若PA=PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA=2或.
26.证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
27.（1）OF=CF．
理由：∵BE=EO，
∴∠EBO=∠EOB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，
∴OF=CF；
（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，∴ON=OM=4cm，
∴S△OBC=BCOM=×12×4=24（cm2）．。