几何证明每日一题（六）
1.已知：如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，
且DE∥BC，∠1+∠2=180°．
求证：∠3=∠B．
2.如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D，DG∥AB 交AC 于点G，
点E，F 分别在边AB，BC 上，且∠1=∠2．
求证：EF⊥BC．
3.已知：如图，
∠AED=∠A+∠B．求证：
DE∥CB．
2
4.如图，在△ABC 中，点D，E 在边BC 上，AD 平分∠BAC，
F 为DA 延长线上一点，FE⊥BC 于E，∠B=35°，∠C=65°，
求∠F 的度数．
5.已知：如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，DF⊥AB 于
F，DE∥AC 交AB 边于点E，
∠A=∠B．求证：∠1=∠2．
【参考答案】
1.证明：如图，
∵∠1+∠2=180°（已知）
∠1+∠DFE=180°（平角的定义）
∴∠2=∠DFE（同角的补角相等）
∴ AB∥EF（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）
∴∠3=∠B（等量代换）
2.证明：如图，
∵DG∥AB（已知）
∴∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠BAD（等量代换）
∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）
∴∠ADB=∠EFB（两直线平行，同位角相等）
∵AD⊥BC（已知）
∴∠ADB=90°（垂直的定义）
∴∠EFB=90°（等量代换）
∴EF⊥BC（垂直的定义）
3.证明：如图，延长DE 交AB 于点F
∵∠AED 是△AEF 的一个外角（外角的定义）
∴∠AED=∠A+∠AFE（三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和）
∵∠AED=∠A+∠B（已知）
∴∠AFE=∠B（等式的性质）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
4.解：如图，
在△ABC 中，∠B=35°，∠C=65°（已知）
∴∠BAC=180°-∠B-∠C
=180°-35°-65°
=80°（三角形的内角和等于180°）
∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）
∴∠BAD= 1
∠BAC
2
1
= ×80°
2
=40°（角平分线的定义）
∵∠ADE 是△ABD 的一个外角（外角的定义）
∴∠ADE=∠BAD+∠B
=40°+35°
=75°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内
角的和）
∵EF⊥BC（已知）
∴∠FED=90°（垂直的定义）
∴∠F=90°-∠ADE
=90°-75°
=15°（直角三角形两锐角互余）
5.证明：如图，
∵DE∥AC（已知）
∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）
∵∠A=∠B（已知）
∴∠BED=∠B（等量代换）
∵DF⊥AB（已知）
∴∠DFE=∠DFB=90°（垂直的定义）
∴∠1+∠BED=90°，∠2+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠1=∠2（等角的余角相等）。