用MATLAB 软件和液晶光阀实现傅立叶变换计算全息制作及其再现姚雪灿指导教师 阎晓娜（上海大学理学院物理系，上海 200444）摘要：利用MATLAB 语言制作了一个迂回相位编码的傅立叶变换全息图，使用电寻址的液晶光阀作为全息图的实时记录介质对得到的傅立叶计算全息图进行光学再现，并对编码过程中加随机相位和不加随机相位后的再现图进行了比较讨论。
关键词：计算全息 傅立叶变换全息 MATLAB 液晶光阀 迂回相位编码全息制作包括二种方式，光学全息和计算全息。
光学全息用光学干涉原理制作，计算全息是用计算机对物波场的数学描述进行抽样、计算、编码而制作。
计算全息可以制作已存在物体的全息图，也可以制作不存在物体的全息图，只要物光波场可以用数学描述出来。
制作的计算全息图要以适合光学再现的尺寸和方式来输出。
由于计算全息图上每个抽样单元的尺寸在微米量级，需要专门的光学缩微照相系统或微光刻系统。
在要求较低情况下也可用照相机将显示在计算机屏幕或打印输出的计算全息原图缩拍到高分辨感光胶片上，通过显影、定影等处理得到可用于光学再现的全息图。
由于记录介质是照相胶片，这就限制了它在实时处理中的应用。
近年来，随着高分辨电寻址空间光调制器的发展，像元尺寸在微米量级，像素数超过100万的振幅型或相位型空间光调制器已经完全实用化。
其中最具代表性的是液晶光阀，电寻址的液晶光阀是由驱动电路驱动的LCD ，根据寻址电信号改变每一液晶像素的透过率，从而把电信号转换成空间的光强分布。
液晶光阀可以作为实时的信号处理和显示器件，代替全息干板可进行实现计算全息图的实时输出和再现。
本文提出一种利用电寻址液晶光阀作为实时记录介质的计算机制全息图的产生方法，实验结果证明了这种方法的可行性。
1 用Matlab 软件实现傅立叶变换计算全息图傅立叶变换全息记录的复数波面是物光波的傅立叶变换。
计算傅立叶变换全息图的制作包括：对物光波抽样、离散傅立叶变换、编码、画图、图像的输出。
在制作全息图的过程中,编码是最关键的一步，通过编码把二维光场的复振幅分布变换为全息图的二维透过率分布。
本文以迂回相位编码来介绍编码过程。
设抽样后物光波的复振幅经过离散傅里叶变换后的频谱分布为复数F(m,n), 记为F(m,n) = R(m,n)+iI(m,n), F(m,n) = A(m,n)·exp[i φ(m,n)] (1)其中, A(m,n)和φ(m,n)分别代表全息图上各点的幅值和相位,A(m,n) =),(),(22n m I n m R +, φ(m,n) =arctg[I(m,n)/R(m,n)] (2)由于光学模板的最大透过率为1,所以在编码前还应对A(m,n)的值进行归一化,使其最大值为1。
假定将物面分为N×N 个抽样单元, 抽样间距为δx 和δy, 其间距要遵循Nyquist 判据。
采用罗曼Ⅲ型编码方法,通过改变每个抽样单元内通光孔径的面积来编码振幅,通过改变通光孔径中心与抽样单元中心的位置来编码相位。
最后每个像素用一个矩形孔表示，矩形孔的宽度为Wδx, 其中W 为一常数。
矩形孔径的高度为Lmnδy,与归一化振幅成正比, Pmnδx 是孔径中心与单元中心的距离,并与抽样点的位相成正比。
孔径参数与复值函数的关系如下，mn L =mn A , mn P =mn φ/2πK （3）经过计算,取W =1/2, K =1。
根据以上二元傅里叶变换全息图的实现原理，采用以下的算法思想在MATLAB 中进行二元傅里叶变换计算全息图的制作，采用罗曼Ⅲ型编码方式且以字母K 为例。
其编码如下： b=zeros(128,128); %采样点阵为128X128。
b(8:120,24:40)=1;b(8+M,(96-M):(112-M))=1;endfor N=1:56b(64+N,(40+N):(56+N))=1;end%K图形用矩阵表示如上。
也可选取简单图形F表示。
A=b;a=rand(128,128);aa=exp(i*2*pi.*a);％给矩阵图K一个随机相位，随机相位因子的作用是平滑傅立叶频谱。
AA=double(A).*aa;Afft2=fft2(AA);％用matlab工具箱对带有随机相位因子的K图进行快速傅立叶变换。
A1=abs(Afft2);B2=angle(Afft2)/(2*pi);%对频谱的相位进行归一化A1max=max(max(A1));A1=A1/A1max; %对频谱的幅值进行归一化s=1; ％设定正方形单元的边长figure;axis([0 128 0 128]);hold on;for J=1:128y0=s/2+(J-1)*s;for I=1:128x0=s/2+(I-1)*s; ％计算抽样单元的中心位置H=A1(J,I)*s; ％矩形高度直接等于归一化的频谱幅值F1=B2(J,I)*s; ％偏离单元中心的量W=s/2; ％矩形宽度if abs (F1)<=s/4x2=x0-W/2; x3=x0+W/2; y2=y0-H/2; y3=y0+H/2;fill([x2,x2,x3,x3],[y2,y3,y3,y2],'k');else if F1>s/4x22=x0+F1-W/2;x33=x0+s/2;y22=y0-H/2;y33=y0+H/2;fill([x22,x22,x33,x33],[y22,y33,y33,y22],'k');x222=x0-s/2;x333=x0+F1+W/2-s;fill([x222,x222,x333,x333],[y22,y33,y33,y22],'k');%根据迂回相位编码原理，对φ<π／2，则直接用单元的高度表达频谱的幅值，偏移中心量表达频谱的相位。
else x22=x0-s/2;x33=x0+F1+W/2;y2=y0-H/2;y3=y0+H/2;fill([x22,x22,x33,x33],[y2,y3,y3,y2],'k');x222=x0+F1-W/2+s;x333=x0+s/2;fill([x222,x222,x333,x333],[y2,y3,y3,y2],'k');%对开孔矩形的位置偏离中心超过，则在进行位相编码时，当φ>π／2时，为了防止与邻近的矩形%孔发生重叠而造成全息图再现时产生失真，依据光栅衍射理论，在程序中采用了“模式溢出校%正法”,即将溢出部分移至本抽样单元的另一侧。
endendendaxis('equal');axis off;由上述程序运行得到的CGH图形如右：图1 迂回相型计算机制全息图（部分）2 用液晶光阀作为计算全息图记录介质实现光学再现液晶光阀是利用液晶的光学特性而制作的空间光调制器。
液晶是一种有机高分子化合物,既有晶体的取向性,又有液体的流动性。
当液晶分子有序排列时表现出光学各向异性:光矢量沿分子长轴方向时具有较大的非常光折射率n e;而垂直分子长轴方向为寻常光折射率n o。
若我们把两块玻璃合在一起,中间用一定厚度的间隔层控制玻璃间的距离,再在间隔中充满液晶,便形成一液晶盒。
液晶盒玻璃内表面经一定方法处理后,可以使盒中的液晶分子长轴沿表面的某一方向排列。
此时的液晶盒相当于一块晶轴与表面平行的晶体片,晶轴方向即为分子长轴方向。
若我们在组成液晶盒的两玻璃间加一定电压,盒里的液晶分子在电场的作用下会逐渐沿电场方向排列,即光轴向与表面垂直的方向偏转,其偏转程度与电场强度有关。
当一束直线偏振光通过此液晶盒时,出射光的偏振态将由加在液晶盒上的电压决定.由此实现了电场对光的偏振态控制。
液晶光阀正是利用此特点制作的器件。
一般的计算全息图像的输出使用照相缩小后再现，为了实现实时化处理，采用液光阀代替照相胶片作为记录介质。
实现再现的光路如图2。
如图2所示，透射型电寻址液晶光阀与计算机视频输出联结，接受其调制信号。
计算机输出全息图的电信号到液晶光阀上，由驱动的LCD根据寻址电信号改变每一个液晶像素的透过率，从而把电信号转换成空间的光强分布。
其中液晶光阀采用电寻址的液晶光阀。
图2 使用液晶光阀的计算全息再现光路图如图2所示，透射型电寻址液晶光阀与计算机视频输出联结，接受其调制信号。
计算机输出全息图的电信号加到液晶光阀上驱动电路上，根据寻址电信号改变每一个液晶像素的透过率，从而把电信号转换成空间的光强分布。
图3(a,b) 是用Matlab编码制作的傅立叶变换计算全息图通过液晶光阀实时显示，用光学再现得到的再现图像。
其中图3(a)和3(b)分别是编码过程中对K字母矩阵加随机相位和不加随机相位后再现图像。
由图可见，当加随机相位进行编码后所得到的图形较清晰。
图b则只显现出字母K图形的高频成分，而低频成分被滤去。
由此可推断，在对全息图进行编码时，如果对其图形未加入随机相位，那么作出的全息图又具有高通滤波器的功能，最后通过液晶光阀所成的重现像突出了边缘，这在图像处理中又称作边缘增强。
关于边缘增强的原理有待进一步讨论。
（a）加随机相位（b）不加随机相位图3 傅立叶变换计算机全息图字母K的重现像3、结束语本文通过运用MATLAB软件和液晶光阀对傅立叶计算全息进行编码和再现，并通过在编码时对矩阵加随相位和不加随机相位，得到两种截然不同的效果，看到了边缘增强的效果。
实践证明，利用一些现代化工具会对物理的研究更加有效，明朗，快捷。
参考文献：[1] 苏显渝等信息光学第一版北京科学出版社1999年第159—175页。
[2] 虞祖良，金国藩计算机制全息学第一版北京清华大学出版社1984年第31—41页。
[3] 宋菲君,Jutamulia S.近代光学信息处理[M] 北京大学出版社1998年第33—34页[4] 陈炳初,雷宏香,蔡志岗, 用MATLAB制作迂回相位编码的傅立叶变换计算全息图,中山大学研究生学刊(自然科学、医学版),27(2):60-65,2006.。