(1)
(2)
(3)
都是常数,总动量平方 总能量是:
=
=
但 正整数.
#
[3]平面转子的转动惯量为 ,求能量允许值.
(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角 ）决定,它的运动是一种
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量 ,但 是角速度,能量是
利用量子化条件,将 理解成为角动量, 理解成转角 ,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有
(1)
又利用量子化条件,令 电荷角动量 转角
(2)
即 (3)
由(1)(2)求得电荷动能=
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能= , 是电荷的旋转频率, ,代入前式得
运动电荷的磁势能= (符号是正的)
点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( )
#Hale Waihona Puke [5]对高速运动的粒子(静质量 )的能量和动量由下式给出:
(1)
(2)
试根据哈密顿量 (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组: ,本题中 , ,因而
(4)
从前式解出 (用 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.
其次求粒子速度 和它的物质波的群速度 间的关系.运用德氏的假设: 于(3)式右方,又用 于(3)式左方,遍除 :
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为 则 这将导得下述折射定律
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子： 仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有 ，你怎样解决矛盾？
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程
(1)
(1)说明 是量子化的
(2) ( ……..) (2)
(3)代入能量公式,得能量量子化公式: (3)
#
[4]有一带电荷 质量 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是 ,线速度是 ,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
(解)设原来的薛定谔方程式是
将方程式左边加减相等的量 得:
这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解 ,
从能量本征值来说,后者比前者增加了C。
#
[8]设粒子势能的极小值是
(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量
其中动能平均值一定为正:
=
=
用高斯定理:
=
中间一式的第一项是零,因为 假定满足平方可积条件,因而 因此 ,能让能量平均值 因此 令 (本征态)则 而
求微分: (4)
求积分: (5)
将(4)(5)代量子化条件:
T是振动周期,T= ,求出积分,得
正整数
#
[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为
(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如 ),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:
按照波包理论，波包群速度 是角频率丢波数的一阶导数：
=
最后一式按照（4）式等于粒子速度 ，因而 。
又按一般的波动理论，波的相速度 是由下式规定
（ 是频率）
利用（5）式得知
（6）
故相速度（物质波的）应当超过光速。
最后找出 和 的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：
， （7）
#
[6]（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律
得证
#
[9]设粒子在势场 中运动(1)证明其能量的平均值是: (1)
其中W是能量密度(2)证明能量守恒公式
(2)
其中 (能流密度)
(证明)(1)三维粒子的能量算符是: (3)
求 在状态 中的平均值
由于 ，将此式代入前一式：
最末一式按高斯定理化为面积分
若 满足平方可积条件，则 ，S考虑为无限远处的界面。结果证得公式⑴
(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度 应等于光波的群速度 光程原理作 ,依前题相速 ,而 , 是折射率, 是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度 ,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.
前一非难是将光子的传播速度 看作相速度 的误解.
#
[7]当势能 改变一常量C时,即 ,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?
⑵求⑴式中能量密度W的时间偏导数，注意 。 一般都含时间， ， 也是如此，因而：
粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式：
又设 则有
公式⑵得证。
[10]设N个粒子的哈密顿量为：
⑴
是它的任一态函数，定义：
⑵
⑶
求证： ⑷
[证明]按定义：
⑸
多粒子的体系的状态 应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式： （6a）
设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有
又AB沿界面的投影c也是常数，因而 ， 存在约束条件：
（2）
求(1)的变分,而将 , 看作能独立变化的,有以下极值条件
(3)
再求（2）的变分
(3)与(4)消去 和 得
(5)
[乙法]见同一图,取 为变分参数,取0为原点，则有:
求此式变分,令之为零,有：
这个式子从图中几何关系得知,就是(5).
在量子化条件中,令 为振子动量, 为振子坐标,设总能量E
则
代入公式得:
量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅 的四倍,要决定振幅 ,注意在A或B点动能为0, ,(1)改写为:
(2)
积分得:
遍乘 得
[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间 而不用位移 ,按题意振动角频率为 ,直接写出位移 ,用 的项表示:
量子力学常用积分公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7 )
( )
(8)
(a<0)
( 正偶数)
(9) =
( 正奇数)
( )
(10)
( )
(11)) ( )
(12)
(13)
(14)
(15)
(16) ( )
( )
第二章：函数与波动方程
[1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能 ]
(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:
(6b)
将前二式等式右方的式子代替左方的 ， ，代进式⑸
————————————⑺
又待证的公式的等号左方第二项是：
⑻
------------------------------------⑼