第二类换元法 (代换: x (t ))
第 四 章
不定 积分
u vdx u v uv dx
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2) uv dx 比 uvdx 好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指, 三” 的顺序,排前者取为u ,排
后者取为v .
第 四 章
不定 积分
1. 一般积分方法
1. 利用极限的定义 2. 利用单调有界必有极限 (数列有界) 3. 四则运算法则 4. 利用函数的连续性 5. 夹逼准则(数列极限)
第
一
章
函数 与 极限
6. 利用两个重要极限 7. 等价无穷小的转化 8. 利用洛必达法则 9. 利用泰勒公式 10. 利用定积分的定义
第
一
章
函数 与 极限
1. 函数连续的等价形式
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用:
求未定式极限; 几何应用; 相关变化率; 证明不等式; 研究方程实根等.
第 四 章
不定 积分
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式 和运算法则求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
f (x)dx
f [ (t)](t)dt
第
三
章
微分 中值 定理 与导 数的 应用
(3) 若结论中含两个或两个以上的中 值,必须多次应用中值定理 .
(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑 用泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中 值定理.
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放 大或缩小的技巧.
第
三
章
微分 中值 定理 与导 数的 应用
1. 研究函数的性态: 增减, 极值, 凹凸, 拐点, 渐近线, 曲率 2. 解决最值问题
令x x x0 , y f (x0 x) f (x0 )
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim y 0
x0
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
0, 0, 当 x x0 时,
有 f ( x) f ( x0 )
第
一
章函数Biblioteka 与 极限2. 函数间断点f ( x0 ) f ( x0 ) A
{ xn } ( xn x0 ) , xn n x0 ,
有lim n
f
( xn )
A
第
一
章
函数 与 极限
2. 极限存在准则及极限运算法则
无穷小的性质; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x,
tan x ~ x,
1
cos
x
~
1 2
x2,
arctan x ~ x, arcsin x ~ x,
设 M max f ( x), m min f ( x) , 则
[a, b]
[a, b]
m(b a)
b a
f
(
x
)
d
x
M(b a)
(a
b)
4. 变限函数的求导
定 5. 与定积分有关的求极限问题
积
定积分定义
分
夹逼准则
洛必达法则
第
六
章
定积 分的 应用
一、平面图形的面积
上下限分别 对应曲线的
直角坐标方程
• 微分: d f ( x) f ( x)dx
• 关系: 可导
可微
第
二
章
导数 与 微分
(1) 利用导数定义解决的问题 l 求分段函数在分界点处的导数 l 由导数定义证明一些命题
(2) 用导数定义求极限 (3) 求曲线的切线与法线 (4) 微分在近似计算与误差估计中的应用
第
二
章
导数 与 微分
1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧 (1) 求分段函数的导数
边
起点和终点
界 方
参数方程 A t2 (t ) (t )d t t1
,
sin x2dx ,
1 ln x
dx
,
dx 1 x4
,
1 x3 dx,
1 k 2 sin2 x dx (0 k 1),
1. 求定积分(常义积分和反常积分)
第 定积分的定义
五
定积分的几何意义
章
定积分换元法
定
定积分的分部积分法
积 2. 定积分中值定理 分
3. 用定积分性质估值
第 五 章
ln(1 x) ~ x, ex 1 ~ x,
ax 1 ~ x ln a, (1 x) 1 ~ x.
第
一
章
函数 与 极限
4. 两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim (1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e 0
注: 代表相同的表达式
第
一
章
函数 与 极限
总结：求极限的方法
可去间断点 第一类间断点
跳跃间断点 无穷间断点 第二类间断点 振荡间断点
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理; 最值定理; 零点定理; 介值定理.
第
二
章
导数 与 微分
• 导数:
f ( x)
lim
x0
f (x
x) x
f
(x)
当 x 0 时,为右导数 f ( x) 当 x 0 时,为左导数 f( x)
第
一
章
函数 与 极限
一、函数
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 2. 反函数 3. 复合函数 4. 初等函数
第
一
章
函数 与 极限
二、 极限
1. 极限定义的等价形式
(以 x x0为例 )
lim f ( x) A " "
x x0
lim [ f ( x) A] 0
x x0
(即 f ( x) A为无穷小)
注意讨论界点处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法 导出 对数微分法 (3) 参数方程求导法
转化 极坐标方程求导
第
二
章
导数 与 微分
(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)
(5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳; 间接求导法; 利用莱布尼茨公式.
第
三
章
微分 中值 定理 与导 数的 应用
1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理 拉格朗日中值定理
柯西中值定理
2. 微分中值定理的主要应用
(1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
第
三
章
微分 中值 定理 与导 数的 应用
利用逆向思维，设辅助函数. 一般解题方法:
(1) 证明含一个中值的等式或根的存在,多 用罗尔定理,可用原函数法找辅助函数. (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函 数，可考虑用柯西中值定理 .
有理 函数
分解
万能代换 根式代换
多项式及部 分分式之和
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
第 四 章
不定 积分
(1) 一般方法不一定是最简便的方法,要注 意综合,使用各种基本积分法, 简便计算.
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函 数,因此不一定都能积出. 例如,
ex2 dx ,
sin x
x
dx