内容基本要求略高要求较高要求二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题1． 理解各个解析式图象之间的联系及性质； 2． 掌握二次函数平移的性质；3． 理解平移前后的解析式与平移变换之间的关系； 4． 掌握二次函数的对称变换的性质； 5． 会写出二次函数关于直线对称后的解析式； 6． 会写出二次函数关于点成中心对称后的解析式； 7． 掌握函数图象旋转前后的性质。

你知道“函数”的来历吗？现行数学教科书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成函数的．课前预习重难点中考要求二次函数图象的几何变换中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思．模块一二次函数的平移1.几种二次函数解析式之间的平移关系：①函数2y ax k=+的图象可以看做是由函数2axy=的图象向上或向下平移||k个单位得到的；k>时，向上平移；0k<时，向下平移。

②函数()2y a x h=-的图象可以看做是由函数2axy=的图象向左或向右平移||h个单位得到的；h>时，向右平移；0h<时，向左平移。

③函数()2y a x h k=-+的图象可以看做是由函数2axy=的图象先向左或向右平移||h个单位，再向上或向下平移||k个单位得到的；当0h>时，向右平移，当0h<时，向左平移；0k>时，向上平移，0k<时，向下平移。

2.将二次函数2y ax bx c=++，向左平移m个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c=++++；向右平移m个单位，函数解析式变为()()2y a x m b x m c=-+-+。

3.将二次函数2y ax bx c=++，向上平移n个单位，函数解析式变为2y ax bx c n=+++；向下平移n个单位，函数解析式变为2y ax bx c n=++-。

4.通常，将平移前的函数2y ax bx c=++化成()2y a x h k=-+的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况，再将顶点式整理成一般式。

5.平移前后的的函数的开口方向与开口大小不改变，即a不变。

例题精讲【例1】 将二次函数2y x =的图象平移后，可得到二次函数()21y x =+的图象，平移的方法是（ ）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【难度】1星【解析】考查函数2y ax =与函数()2y a x h =-之间的平移关系，可以根据解析式之间的性质考虑，也可以用顶点的变化情况来考虑。

【答案】C【巩固】（2021·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．【巩固】把二次函数2y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，那么平移后所得图象的函数解析式是（ ） A ．()213y x =-- B ．()213y x =+- C ．()213y x =-+ D ．()213y x =++【难度】1星【解析】考查函数2y ax =与函数()2y a x h k =-+之间的平移关系，可以根据解析式之间的性质考虑，也可以用顶点的变化情况来考虑。

【答案】C【例2】 将二次函数22810y x x =-+的图象沿x 轴向左平移3个单位，沿y 轴向上平移4个单位后可得到函数 的图象。

【难度】1星【解析】考查函数2y ax bx c =++的平移的性质。

【答案】方法一：将函数化为顶点式 ()222810222y x x x =-+=-+所以平移后的解析式为()22216248y x x x =++=++ 方法二：直接变换函数解析式()()222383104248y x x x x =+-+++=++【巩固】把二次函数221y x =-+的图象沿x 轴向右平移3个单位，沿y 轴向下平移2个单位，则平移后的图象所表示的函数解析式是【难度】1星【解析】考查函数2y ax bx c =++的平移的性质。

【答案】()2223121218y x x x =---=-+-【例3】 已知二次函数的图象的顶点坐标为()1,4A -，且经过点()2,3-．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式。

【难度】2星【解析】本题先要确定函数的解析式，再对函数进行平移变换，求变换后的解析式。

【答案】（1）设该二次函数的解析式为()214y a x =--∵经过点()2,3-，则()23214a -=--， ∴1a =∴二次函数的解析式为()221423y x x x =--=-- （2）令0y =，则2230x x --= 解得：121,3x x =-=∴该二次函数的图象向左平移3个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点． 此时，图象顶点为()2,4--∴平移后图象对应的二次函数的解析式为()22244y x x x =+-=+【巩固】若二次函数212y x bx c =-++的图象与x 轴相交于()5,0A -，()1,0B -（1）求这个二次函数的关系式；（2）如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x 轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移多少个单位？【难度】3星【解析】先用待定系数法确定函数的解析式，再对函数进行平移变换，求变换后的解析式。

【答案】（1）∵212y x bx c =-++，把()5,0A -，()1,0B -代入上式，得∴ ()()()()221255012110b c b c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨-⨯-+⨯-+=⎪⎩ 解得：352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∴这个二次函数的解析式为215322y x x =---（2）∵二次函数的解析式为()22151332222y x x x =---=-++∴顶点坐标为()3,2-∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点，应向下平移2个单位模块二 二次函数的轴对称1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；【例4】 如果二次函数的图象与已知二次函数22y x x =-的图象关于y 轴对称，那么这个二次函数的解析式是（ ） A ．22y x x =-+ B ．22y x x =+ C ．22y x x =-- D ．212y x x=-【难度】2星【解析】考查二次函数关于y 轴对称的解析式，可以将x 变为x -考虑。

【答案】B【巩固】二次函数()2231y mx m m x m =--+-的图象关于y 轴对称，则m 的值（ ）．A ．0B ．3C ．1D ．0或3【难度】2星【解析】本题考查的是图象自身关于y 轴对称，也就是说图象的对称轴是y 轴。

要区别轴对称图形和图形成轴对称两个概念。

图象的对称轴为y 轴，即令230m m -=，同时又要保证0m ≠。

【答案】B【例5】 将二次函数()21y x =-的图象进行适当的平移或轴对称变换后所得图象的函数表达式为()212y x =---，请写出一种符合条件的变换【难度】2星【解析】本题考查同时考查平移和对称变换两种，由于抛物线的开口方向改变，可知函数关于x 轴对称变换。

【答案】作x 轴的轴对称变换，向下平移2个单位（答案不唯一）【巩固】已知一个二次函数23y x bx =-++的图象经过点()1,4A（1）求b 的值；（2）求抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式．【难度】2星【解析】先确定待定的系数，再求抛物线对称的解析式。

【答案】（1）把点()1,4A 代入23y x bx =-++得：134b -++=∴2b =∴此抛物线的解析式为223y x x =-++ （2）∵关于x 轴对称∴抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式为23y x x =--【例6】 二次函数()()2213y x x =--与()()22y x a x b =++的图象关于y 轴对称，则()()2211a b +++的值为（ ）A ．9B ．10C ．20D ．25【难度】3星【解析】考查两个函数关于y 轴对称的性质，本题需要先将两个二次函数进行整理，将解析式整理成一般式，再根据两个函数关于y 轴对称的特性来解题。

【答案】C(2021·泰安)若二次函数y ＝x2+bx －5的对称轴为直线x ＝2,则关于x 的方程x2+bx －5＝2x －13的解为________.【答案】x 1＝2,x 2＝4【解析】∵二次函数y ＝x 2+bx －5的对称轴为直线x ＝2,∴22b-=,∴b ＝－4,∴原方程化为x 2－4x －5＝2x－13,解之,得x 1＝2,x 2＝4.模块三 二次函数的中心对称1. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 2. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．3. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-【例7】 （黔东南州）二次函数223y x x =--的图象关于原点()0,0O 对称的图象的解析式是？ 【难度】1星【解析】求函数2y ax bx c =++关于原点对称的解析式。