2020届长沙市一中2017级高三第一次月考
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===,则A ∩B 的元素个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】B
【解析】 首先求解方程组3
y x y x ⎧=⎨=⎩
,得到两曲线的交点坐标,进而可得答案． 【详解】联立3
y x y x
⎧=⎨=⎩,解得1,0,1x =- 即3y x =和y x =的图象有3个交点()1
1--，,()0,0,(11)，, ∴集合A B I 有3个元素,故选B.
2.已知i 为虚数单位,a ∈R ,若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限,且5z z ⋅=,则z ＝( )
A. 2-i
B. -1+2i
C. -1-2i
D. -2+3i
【答案】A
【解析】
通过复数的运算得到方程()2215a a +-=,根据其在复平面的位置得到结果. 【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=,解得1a =-或2a =,
∴12z i =-+或2z i =-,
∵在复平面内对应的点位于第一象限,
∴2z i =-,故选A.
3.设x ∈R ,则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
解出不等式,结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果.
【详解】∵21x <11x ⇔-<<,lg 0x <⇔01x <<,
01x <<⇒11x -<<,
11x -<<不能推出01x <<,
∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件,故选B.
4.已知向量a r ＝(1,0),b r ＝(-3,4)的夹角为θ,则sin2θ等于 ( ) A. 725- B. 725 C. 2425- D. 2425
【答案】C
【解析】
首先根据向量夹角公式求出cos θ的值,然后求出sin θ,最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a b
θ⋅==-=-⨯⋅r r r , ∵0θπ≤≤,
∴4sin 5θ==,24sin 22sin cos 25
θθθ==-,故选C. 5.设a ＝183log ,b ＝244log ,c ＝342,则a 、b 、c 的大小关系是 ( )
A. a <b <c
B. a <c <b
C. b <c <a
D. c <b <a 【答案】D
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <,2a >,2b >,将,a b 分别表示为
631log a =+,641log b =+,进而可得结果. 【详解】3
14222c =<=,18933log log 2a =>=,241644log log 2b =>>, 所以c 最小,
因为18633log 1log a ==+,24644log 1log b ==+,。