第三章 牛顿法§3.1 最速下降法一、最速下降法在极小化算法中，若每次都以迭代点处的负梯度方向为搜索方向，产生的算法称为最速下降法，它是无约束最优化算法中最简单、最基本的算法。

算法描述：1） 给出初始点0nx R ∈，允许误差0ε>，0k =；2） 计算k k d g =-，若k g ε≤，Stop 令 *k x x ≈；3） 由一维搜索确定步长因子k α，使得()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+4） 令1k k k k x x d α+=+，1k k =+，go to 2).的每个聚点均为驻点。

令{}1k K d 有界，且2()(())()0Tf x f x f x ∇-∇=-∇=故有 ()0f x ∇=。

定理 3.2 设()f x 二次连续可微，且2()f x M ∇≤，则对任何给定的初始点0nx R ∈，最速下降算法或有限终止，或lim ()k k f x →∞=-∞，或lim ()0k k f x →∞∇=。

证明：不妨设k ∀，()0k f x ∇≠。

由定理2.5有211()()()2k k k f x f x f x M+-≥∇ 于是 []120101()()()()()2kk k i i i i i f x f x f x f x f x M -+==-=-≥∇∑∑令k →∞，由{()}k f x 为单调下降序列，则要么lim ()k k f x →∞=-∞，要么 lim k →∞∇定理3.3 设1f C ∈证明：直接由定理2.14可得。

注：1) 21λ，n λ分别为G 的≤ ()k k I G x α-其中k α使 (())(())k k k f I G x f I G x αα-≤-， 0α∀≥ 若设 ()1k P t t α=-，()Q t ut λ=- 其中,u R λ∈。

则有()Q G I uG λ=-，而(0)Q λ=，利用这些，可知1()()(())()(0)k k k k Q G f x f I G x f x Q α+=-≤， （要求0uλ>） 21()()1()()(())(())2(0)(0)2(0)T T k k k k Q G Q G x G x Q G x G Q G x Q Q Q == 设12,,n λλλ≥≥L 是G 的特征值，而(1,,)i u i n =L 是对应得标准特征向量（两两正交的单位向量）。

令()1nk k i ii x au ==∑，则上式可进一步表示为：()()2111(())(())2(0)n nk T k i i j j i j a Q G u G a Q G u Q ==∑∑ ()()2111(())(())2(0)n nk Tk i i i j j j i j a Q u G a Q u Q λλ===∑∑ （将G 作用到∑内每一项） ()()2111(())(())2(0)n nk T k i i i j j j j i j a Q u a Q u Q λλλ===∑∑（由i u 是标准正交向量组） 对1=-。

1n显然()Q t 单调上升。

由1()1,()1n Q Q λλ==-，及12,,n λλλ≥≥L ，即得()1(1,,)i Q i n λ≤=L 。

由 ()()22()2()1221111()()2(0)2(0)n nk k k i i i i i i i f x a Q a Q Q λλλ+==≤≤∑∑ 及 ()2()()()()()11111111()()()()()222n nn n n k T k k T k k k i i j j i i j j j i i i j i j i f x a u G a u a u a u a λλ========∑∑∑∑∑即得 12()()(0)k k f x f x Q +≤. 再由 2211(0)n n Q λλλλ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭最后得 2111()()n k k n f x f x λλλλ+⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭0k ∀≥.由1101nnλλλλ-<<+，并注意到()f x 是正定二次函数（()0f x ≥）， 则有()0 ()k f x k →→∞。

再由()f x 为严格凸二次函数（正定二次型），故当且仅当0x =时，()0f x =，由此可推得必有*0k x x →=.再注意到*()0f x =，则有2*111*1()()()()()()k k n k k n f x f x f x f x f x f x λλλλ++⎛⎫--=≤ ⎪-+⎝⎭是对称正定的，故有由211*11()n k kn n k k x x f x λλλλλλλ⎛⎫-≤ ⎪+-⎝⎭最后得*1*k k x x x x +-≤-（其中1nλτλ=）。

这表明：最速下降算法至少具有线性收敛速度。

定理3.5（Kantorovich 不等式）设G 是n 阶对称正定矩阵，1λ和n λ分别为其最大和最小特征值，则nx R ∀∈，有211214()()()()T n T T n x x x Gx x G x λλλλ-≥+。

证明：参见袁亚湘等《最优化理论与方法》第三章附录，略。

以上对特殊形式的二次函数1()2Tf x x Gx =的收敛速度进行讨论，对一般的二次函数 1()2TT f x x Gx b x =+ 利用Kantorovich*0Gx b +=且()f x 可表示为 **1()()()2T f x x x G x x =--记 **1()()()2T E x x x G x x =--则()E x 与()f x（由Kantorovich 不等式） （1） *x x =时，**()()()02T E x x x G x x =--=利用()E x 一致凸性，可证必有：*k x x →。

这表明：算法产生的点列{}k x 是整体收敛到*x 的。

由（1）有： 2*111*1()()()()()()k k n k k n f x f x E x f x f x E x λλλλ++⎛⎫--=≤ ⎪-+⎝⎭（2）注意到： ***1()02T f x x Gx ≤-≤，由（2）有 22*11111()()1()n nk k n n f x f x f x λλλλλλλλ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥≤+- ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦211()n k n f x λλλλ⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭（3）再令*k k e x x =-（k ∀），则的近2()()()()()()()2T T k k k k k k f x f x f x x x x x f x x x ≈+∇-+-∇-记 ()21()()()()2k TT k k k q s f x f x s s f x s =+∇+∇，其中k s x x =-，极小化()()k qs 得211(())()k k k k k s f x f x G g --=-∇∇=-进而得牛顿算法的迭代公式: 11k k k k x x G g -+=-.关于牛顿算法的若干评注① 牛顿算法可视为椭球范数kG g 下的最速下降算法。

事实上，欧氏空间n R 中一般范数g 下的方向导数定义为：a) 即②由于min ()nx Rf x ∈等价于求解非线性方程组 ()0f x ∇=设k x 是当前迭代点，若()0k f x ∇=，则k x 是方程组的解，否则将()f x ∇在k x 处线性化，得2()()()()0k k k f x f x f x x x ∇≈∇+∇-=将上述线性方程组的解作为()0f x ∇=的近似解，得 21()()k k k x x f x f x --=-∇∇ 故有 211()()k k k k x x f x f x -+=-∇∇，这恰好就是牛顿迭代公式。

二、牛顿法的收敛性 定理3.7 设(2)f C∈，k x 充分靠近极小点*x ，而*()0f x ∇=，2*()f x ∇正定，若进一步假设Hessian矩阵()G x 满足Lipschitz 条件。

则由牛顿法产生的序列{}k x 收敛于*x ，且具有二阶的收敛速度。

证明：由 *11***00(())()()(())()k k k k k k dg x x x g x g x d G x x x x x d d ααααα+--==+--⎰⎰ 及()G x 满足Lipschitz 条件，可得**2())()]())k k k x x G x x x d αα---（*）*时，k G 正定，且1k G -有上界。

)k 最大，()k n λ最小，则1k G -的特征值为。

又特征值是特征多项式系*x x ε-≤时，存在m, M 使得 1(())(())n m G x G x M λλ≤≤≤， （相当于特征值一致有界） 因而当*k x x ε-≤时1()()n k k m G G M λλ≤≤≤（这里()n k G λ1()k G λ分别表示k G 的最小、最大特征值）。

由以上分析及（*）式，则有21**0()()k k k k G g x x o x x -=--+-2**1()0k k x x o x x +⇒-++-=2**1k k x x c x x+⇒-≤- （**）只要*1k c x x r -<<，则有*10k x x +-→，即*k x x →，迭代点列收敛，且由（**）式知，算法具有二阶收敛的速度。

关于算法的评价1）优点：当初始点0x 离最优解*x 很近时，收敛速度快；算法简单；不需要用一维搜索。

2) 缺点：局部收敛，k G 不正定时，不能保证牛顿方向是下降方向。

事实上，当k G 为正定时，牛顿方向1k k k s G g -=-满足：10T T k k k k g s g G g -=-<（下降方向），但若k G 非正定，则不能保证k s 是下降方向。

由以上分析可知，固定的步长因子不能保证目标函数有合理的改善，甚至不能保证算法下降，因此有必要对牛顿算法作一些改进，一个最直接的改进是：在牛顿算法中加入一维搜索。

112；40()min k k f x d αα≥+；52．总体收敛性定理3.8 设:nf R R →二阶连续可微，且对任意的0nx R ∈，存在常数0m >，使得()f x 在水平集00(){()()}L x x f x f x =≤上满足，22()Tu f x u m u ∇≥，nu R ∀∈，0()x L x ∈则在精确一维搜索条件下，带步长因子的牛顿法产生的迭代点列{}k x 满足： 1） 当{}k x 为有穷点列时，对某个k ，有0k g =；2） 当{}k x 为无穷点列时，{}k x 收敛到f 的唯一极小点*x 。