山西省汾阳市汾阳中学2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题 文考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷命题范围；必修1~必修5，选修1-1.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点，，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒2. cos 20cos10sin160sin10-=（ ） A ．32-B ．12-C ． 32D ．123. 已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)4.已知角A 、B 是的内角，则“A<B”是“”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C 的方程为（ ）A. 2213218x y -=B. 22134x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=6.已知等差数列{}n a 的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为（ ） A ．100B ．120C ．390D ．5407. 已知曲线1y x x =+上一点52,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 处的切线方程为（ ） A.4340x y -+=B.3440x y -+=C.4330x y ++=D.3440x y ++=8. 已知191,0,0=+>>yx y x ，则使不等式m y x ≥+恒成立的实数m 取值范围（ ） A ． B C ．D9. 函数()()2sin (0,)f x wx w x R ϕ=+>∈ 的部分图象如图所示，则该函数图象的一个对称中心是（ ）A ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．4,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭10. 设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）．A. [13,13]+B. (),1313,⎡-∞++∞⎣C. [222,22]-+D. (),222222,⎡-∞-++∞⎣11. 设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12. 已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为（ ）A. (0,)+∞B. (,0)-∞C.4(,)-∞eD.4(,)+∞e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“2,230x R x x ∀∈-+>”的否定是________. 14．某学院为了调查本校学生2020年9月“健康使用手机”（健康使用手机指每天使用手机不超过3小时）的天数情况，随机抽取了80名本校学生作为样本，统计他们在30天内“健康使用手机”的天数，将所得数据分成以下六组：[]0,5，(]5,10，…，(]25,30，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.根据频率分布直方图，可计算出这80名学生中“健康使用手机”超过15天的人数为______15. 若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______16.给出下列命题：（1）直线()2y k x =-与线段AB 相交，其中()1,1A ，()4,2B ，则k 的取值范围是（2）点1,0P 关于直线210x y -+=的对称点为0P ，则0P 的坐标为76,55⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）圆22:4C x y +=上恰有3个点到直线:0l x y -+=的距离为1；（4）直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆恰好与直线1x =-相切.其中正确的命题有_________.（把所有正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17. （本题满分10分）设命题p ：方程221327x y a a +=-+表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q ：实数a 使曲线222426120x y x y a a +---++=表示一个圆. （1）若命题p 为真命题，求实数a 取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分)已知锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin b C c B A +=. （1）求A ；（2）若53ABC S ∆=，21a =，求ABC 的周长.19. （本题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA 是四棱锥P ABCD -的高，且2PA =，E 是侧棱PA 上的中点. （1）求三棱锥C-PBD 的体积； （2）求异面直线EB 与PC 所成的角；20.（本题满分12分)数列).13(21}{321-=++++nn n a a a a a 满足： （1）求}{n a 的通项公式；（2）若数列.T }{,3}{n 项和的前求满足：n b a b n b a n n nn =21．（本题满分12分）已知点2)在抛物线22(0)y px p =>上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，1(0)2E -，，设EA 斜率为1k ，EB 斜率为2k ，判断1211k k +是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 22.（本题满分12分）已知函数()21ln f x x ax x =-++-.（1）若()f x 在1x =处取到极值，求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≥在()1,2恒成立，求a 的范围.高二数学（文科）考试答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． CCDCD ABDCD B A 12. 【答案】A【解析】因为(1)y f x =+为偶函数，所以(1x)(x 1)f f -=+，(0)(2)f f =，构造函数(x)(x)x f h e =，'''2(x)e (x)e (x)(x)(x)0x x x xf f f f h e e--==<，所以函数(x)h 是R 上的减函数.根据题意：(x)(x)e 1(x)1xx f f h e <⇔<⇔<，因为0(0)(0)1f h e== 所以(x)h(0)h <，解之得，0x >.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 2000,230x R x x ∃∈-+≤ 14 . 5415.193π16.（2）（3）（4） 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.（本题满分10分）解：（1）由题意()()3270a a -+<，解得732a -<<. 即a 的范围是7,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……3分（2）命题q ：实数a 使曲线222426120x y x y a a +---++=表示一个圆，()()2222167x y a a -+-=--表示圆.则需2670a a -->，解得7a >或1a <-， ……5分 ∵命题“p q ∨”为真，命题“p q ∧”为假∴73217a a ⎧-<<⎪⎨⎪-≤≤⎩得13a -≤<或73217a a a a ⎧≤-≥⎪⎨⎪<->⎩或或得72a ≤-或7a > …… 9分 ∴a 的取值范围为[)()7,1,37,2⎛⎤-∞-⋃-⋃+∞ ⎥⎝⎦. …… 10分18．（本题满分12分）解：（1）依据题设条件的特点，由正弦定理，得223sin cos cos sin sin B C B C A +=， 有()223sin sin 3B C A +=， ……3分 从而()223sin sin sin 3B C A A +==，解得3sin 2A =， A 为锐角，因此，3A π=； ……6分 （2），故20bc =， ……8分由余弦定理2222cos 21a b c bc A =+-=，得()222212b c bc b c bc bc =+-=+--， ……10分()22132132081b c bc ∴+=+=+⨯=，9b c ∴+=， ……11分故ABC ∆的周长为921a b c ++= ……12分 19．（本题满分12分）（1）又因为PA 是四棱锥P ABCD -的高，所以PA 是三棱锥P BCD -的高，所以11111123323C PBD P BCD BCD V V S PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△ ……5分 （2）连结AC 交BD 于O ，连结OE ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以O 是AC 的中点，又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， 所以BEO ∠（或补角）为异面直线EB 与PC 所成的角 .……9分因为1AB AD ==，112EA PA ==，可得2EB ED BD ===， 所以BDE ∆为等边三角形，所以3BED π∠=， 又因为O 的中点，所以6BEO π∠=，即异面直线EB 与PC 所成的角6π. ……12分20. （本题满分12分）解：（1）1231(31)2n n a a a a ++++=-，①当2n ≥时，-1123-11(31)2n n a a a a ++++=-，②①－②得，13n n a -=， 当1n =时，11a =，符合上式.所以13n n a -= ……6分（2）因为3n na b n a =，所以133n na b n -=，即1n n a b n =-，，n T 23n-11111=0+1+2+3++n-1)3333⨯⨯⨯⨯（）（）（（），①23n-1n11111=1+2++n-2)+n-1)33333n T ⨯⨯⨯⨯（）（）（（）（（），② …… 8分①－②得，23n-1n211111=++++n-1)333333n T ⨯（）（）（）－（（）111=)223n n +－(， ……11分 所以1321443n n n T -+=-⋅ ……12分21．（本题满分12分）解：（1）由题2221(0)p p =⨯>（），即1p =，所以抛物线的方程为22y x =. ……4分（2）1211k k +是定值为0，证明如下： ……5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为12x my =+， ……6分 由2122x my y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2210y my --=， ……7分所以122y y m +=，121y y =-， ……8分 因为121212,,1122y y k k x x ==++ 1112x my =+，2212x my =+， ……9分 所以121212121211111111222222=x x my my k k y y y y ++++++++=+ 1212121122()=2+201y y m m m m y y y y +=++=+=-，得证． ……12分 22.（本题满分12分）解析：（1）因为()21ln f x x ax x =-++-，所以()()120f x x a x x=-+->'. 因为()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，即210a -+-=，解得3a =. …… 2分 ∴()()1230f x x x x=-+->'， 令()0f x '>，即1230x x -+->，解得112x <<. 所以()f x 的单调递增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……4分令()0f x '<，即1230x x -+-<，解得102x <<或1x >， 所以()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞.综上，()f x 的单调递减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞，单调递增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭……6分 （2）()0f x ≥在()1,2恒成立，2ln 1x x a x+-⇔≥在()1,2恒成立， 即2maxln 1x x a x ⎡⎤+-≥⎢⎥⎣⎦ ……7分 设()2ln 1x x h x x +-= ()22ln 2x x h x x'-+=， ……8分 设()2ln 2g x x x =-+ 则()212120x g x x x x x -=-=>⇒>'， ∴()g x在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增， ∴()min 5ln 022g x g ⎛==+>⎝⎭，∴()0h x '>恒成立 ……10分 ∴()h x 在()1,2上单调递增，∴()()max 3ln 222h x h +→=， ∴3ln 22a +≥. 即a 的取值范围为3ln 2,2+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ……12分。