双曲线知识点总结
一．双曲线的定义及其性质
1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。

2. 求轨迹的方法：
（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。

3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程
标准方程：122
22=-b
y a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系
数为负，则焦点在y 轴上)
共焦点双曲线的方程： 122
2
2=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12
2
22=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-22
22b
y a x
（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;
②e=a c =2
222221⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c
或e=a
c =
a c
22=a
R R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ
③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=a
b 2
④若点P （x 0,y 0)在双曲线122
22=-b
y a x 上，则过点P 与双曲线相切的直
线方程为
12020=-b
y
y a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。

二．双曲线的焦点三角形
（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;
mn=θcos 122-b ),[2
+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=
b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2
tan 2θb .
证明如下：
①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)
⇒
mn=θcos 122
-b
②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=
2
tan 2sin 22cos
2
sin
2cos 1sin 2212
222
θθθ
θ
θθ
b b b ==
-
三．双曲线的中点弦
（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2
（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。

四．双曲线的其他结论
1. 双曲线中，点P 处的切线PT 平分∆PF 1F 2在点P 处的内角。

2. 双曲线中，以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。

（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
3. 双曲线的焦半径公式：
当点P （x 0,y 0)在右支上时，｜PF １｜＝ex 0+a,｜PF ２｜＝ex 0-a; 当点P （x 0,y 0)在左支上时，｜PF １｜＝ex 0+a,｜PF ２｜＝ex 0-a; 4.
过双曲线焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，A 双曲线实轴上的顶点，连接AP 、AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF 。

5. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，A 1、A 2双曲线实轴上的顶点，A 1P 、A 2Q 交于点M ，A 2P 、A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。

6.若P0（x 0,y 0)在双曲线内，则被P0所平分中点弦的方程
22
2
202020b y a x b y y a x x -=-
7.若P0（x 0,y 0)在双曲线内，则过P0的弦中点的轨迹方程是
20202222b y y a x x b y a x -=-
8.双曲线的两个顶点为A 1（-a,0) A 2(a,0),与ｙ轴平行的直线交双曲线于
P １P ２时，A 1P 1与A 2P 2的交点轨迹方程是122
2
2=+b y a x
9.过双曲线上任一点A （x 0,y 0）任意作两条倾斜角互䃼的直线交双曲
线于BC 两点，则K BC =02
02y a x b -
10.若P 为双曲线上右支（左支）上异于端点的任一点，F １F ２双曲线
的焦点，∠PF １F ２＝ａ，∠PF 2F 1＝β，则2cot
2tan β
a a
c a c =+- 11.P 为双曲线上任一点，F 1F 2为两焦点，A 为双曲线内一定点，|AF 2|-2a ≤|PA|+|PF 1|当且仅当A 、F 2、P 三点共线时且P 、F 2、A 在y 轴同侧时等号成立。

12.双曲线122
2
2=-b y a x 与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是
A 2a 2-
B 2b 2 ≦
C 2
13.已知双曲线122
2
2=-b y a x ，（b>a>0),O 为坐标原点，PQ 为双曲线上两动点，且OP ⊥OQ ，则（1）22
221
1||1||1b a OQ OP -=+（2）｜OP ｜２＋｜OQ ｜２的最大值为22224a b b a -（３）S∆OPQ 的最小值为2
222a b b a -。

14.过双曲线122
22=-b y a x 的右焦点F 2作直线交该双曲线右支于MN 两点，弦MN 的垂直平分线交ｘ轴于Ｐ，则2||||2e
MN PF =
15.设A ，B 为双曲线长轴的两端点，P 为双曲线上的一点，∠PAB ＝ａ，∠PBA ＝β，∠BPA ＝ Y,c,e 分别双曲线的半焦距和离心率，则有:
|PA|=|cos ||cos |22222Y c a a ab -; tanatan β =1-e 2
; S ∆PAB =γcot 2222
2a b b a +
16.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直。