章末过关检测卷（二）第二章推理与证明（测试时间:120分钟 评价分值:150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列事实:l^l + |y|= 1的不同整数解d,力的个数为4, |” + |刃 =2的不同整数解y ）的个数为8, |” + |刃=3的不同整数解匕，y ）的个数为 12,…，贝lJ|^| + |y|=20的不同整数解匕，力的个数为（B ）A. 76B. 80C. 86 D ・ 92解析：个数为首项为4,公差为4的等差数列，・••禺=4 + 4（刃一1） =4/7,曰20= 80,选 B.利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法.设a Q B = a,若直线1// a,且加Q , 1Q 0,则1// Q , /〃 0,因此a 不 一定平行于〃，故A 错误；由于1// 故在a 内存在直线/ 〃厶又因为/丄 所以屮丄〃，故。
丄〃，所以B 正确；若。
丄0,在〃内作交线的垂线1,则 ，丄a ,此时/在平面B 内，因此C 错误；已知a 丄0,若a Q 0 =臼，1// a, 且/不在平面a , 0内，则1// a ,且1〃 B,因此D 错误. 3. 己知 c>\, a=y]c+l —y[c 9 b=y[c —y[c —l,贝lj,正确的结论是(B) A. a>b B. a<b C. a —b D.日，〃大小关系不定 解析： 2异+V? P+&T :'a<b-故选 R 4. 下面几种推理是合情推理的序号的是（D ）① 由圆的性质类比出球的有关性质② 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180。
归纳出所有三角形 的内角和都是180°③ 某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分④ 三角形内角和是180。
，四边形内角和是360。
，五边形内角和是540。
， 由此得凸多边形内角和是（/7-2） • 180°A.①②B.③④C.①③④D.①②④5. 求证：y[2+y[3＞昭 上述证明过程应用了（B ）A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法B.C.D. 设若若若若i, a 、 1// B, /丄0, 0是两个不同的平面（E ）则a 〃0Q 丄0, /丄Q,则/丄J3。
丄0, /〃。
，则/丄02.证明：因为边+萌和书都是止数，所以为了证明仲辰/ 只需证明(边 +伸＞(后，展开得5 + 2&＞5,即2托＞0,显然成立，所以不等式也+J5 ＞騎・6-已知\M=2\^‘ *3唱=3弋,寸4+^=7鲁,…‘ \^|=6寸|@, 0均为实数)，则推测a, 〃的值分别是(D)A.臼=6,力=18B.臼=6,力=25C.臼=6,力=30D.臼=6,力=35解析：观察前三个式子，不难发现，臼与等式右边根号前的系数相等，b=a 2 —1,所以，日=6, 〃=35.故选D.7•“正三角形的内切圆半径等于此正三角形的高的*・”拓展到空间，类比平 面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的(C) 1111A *2B *3C 4 °-5解析：正三角形类比到正四面体，+类比到+故选C.8. 若则下列不等式：①卄力 ＜日力；® \ a.\＞ \ b\ ；③日V/?；④ 2中，正确的个数有(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：••丄乙〈0,①④正确，②③不正确.故选B.a b9. 已知代卄1)=爲二2,代1)=1(圧眄，猜想代方的表达式为⑻421 A.厂(方=尹巨 B. /U)C ・ /U) 2/(1) ? 解析：由已知得，/(2)=八］)+2=7 2因而，猜想代方故选B ・10.已知臼＞0,力＞0, a, b 的等差中项为且/〃=臼+丄，n=b+\,则m+n 厶 3 b的最小值为(C) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 D. %3)= 2/(2) 1 2 f (2) +2=2=4fA4) = 2/(3) 2 f(3) +2 = 59解析：由 已知，得 臼+力=1, /n+n=a+丄+力+^=1+丄+g=l+ — +^~—= a b a b a b b , . b a "、丄3+-+7上3+2、/一 • T =5.故选 C.a b \j a b11. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四 面体的下列性质，则比较恰当的是（B ）①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正 三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一 顶点的任意两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等.A.①④B.①②C.①②③D.③解析：类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这 一规则，①②符合这一规则.12' log 2l 1+ log 3l 1+ log, 11+ log 5l 1 * 贝"⑻A. 0<PVl B ・ 1VPV2 C ・ 2<P<3 D ・ 3VPV4 解析：P= logn2 + logn3 + logn4+logn5 = logn 120, l = log 11ll<log 11120<log 11121=2,即］V P<2. 二、填空题（木大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中 的横线上）13.已知数列&｝的前刀项和为S,且ai=l, S n =na n9 z?GN*,试归纳猜想出 S 的表达式为 _______________________ ・_ 、 2 / 1 解析：51 = 0=8由臼1 +臼2 = 4臼2，得臼2=云，4 1・・・$=§•由 十+趣=她,得禺祚,14.在止项数列｛$“｝中，日】=2,点（、/£ 込二）（刀22）在直线x —迈y=0上, 则数列｛/｝的前/?项和S= __________ ・解析：9：y[a n —\[2y[a^] = 0, :.a=2a n -v . ・・・2.・•・S=% J：?）= 2⑷一2. 答案：2丹一2答案：$= 2n ~n+l1-2f（9） f（4）15•若f（臼+Z?） =f（臼）• f（Z?）（臼，0WN*）,且/（l） =2,则厂（］）+厂（3）/ —f（2 012）f（2 Oil）答案:2 01216.已知命题：若数列｛/｝为等差数列，且a°=b5Hn, /7GN*）,则e\*）,若类比上述结论，可以得到方卄尸_________三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17.（10分）己知数列&｝的第一项0 = 1, R日卄】=］；；（刀=1, 2, 3,…），计算日2,禺，⑵，并写出数列的通项公式（不要求证明）.解析：a2=T+7=TTT=2,18.（12分）已知日1、色、方1、厶UR*,求证：V （日i + A）（日?+仇）鼻诵任+证明：从不等式的结构不易发现需要用哪些不等式的性质或事实解决这个问题，于是___________要证寸（日1 +厶）~（臼2+A）三‘日血+寸厲鸟, 只需证臼］臼2+臼1厶+臼2•现已知数列⑹（Q0,用N”）为等比数列, 且b=af b=bhn^n, n解析：将减、乘、除分别类比为除、乘方、开方,3-1-2+11-+亠答案:2^1 +A 厶事臼】臼2 + 2巳日1臼201&+A 厶， 即证 ai b>+a 2bx^2y ］a x a 2b x b>. •/> 臼2、b 、、b,^R' f日 i b> + M2 2yJ a ｝ a 2b ｝ A 显然丿 J 戈立. 从而，原不等式成立.只需证 a 2+A+2 $（&+£+花），I / r i （ A即证才+飞+4+4、/ a'+—^3~+~+ 4+2y[2 臼+—& \1 3 3 \即证〒++）' 即证弍+£$丫才+£+2〕，日 21 日 丿 即证(曰_丄丫=0, I 日丿20. (12分)己知数列&｝和｛加是公比不相等的两个等比数列，6= aZ,求 证：数列｛山不是等比数列.证明：假设⑷是等比数列，则°, % ©成等比数列，设｛%｝, ｛加的公比分 别为 P和 q .H- pH q,贝ll a ，2 = a 、p,念=a 、p, b> = b\ q,方'=1)Q .•.•Q , Q , Q 成等比数列，…C ；= 0 • C3,即(a 2+b 2)2=(日1 + A) (a 3+Z>3)・：• la 、p+ b 心 2=(日i + A) (a ｝p +biq).：・2d\b\pq=a 、b/ +/.2pq= 6+ 6‘ (p — q)$ = 0.:・P=q 与已知pHq 矛盾.・・・数列⑷不是等比数列. 21. （12分）如图，在四棱锥刊处9中，勿丄平面ABCD, PD=DC=BC=\, AB =2, AB//DQ ZBCD=90° ・疋一2・该不等式显然成立.臼+丄_2・ a(1)求证：PCIBC；(2)求点力到平面/竹C的距离. 解析：•: PDI平面肋〃，BCU平面/1BCD, :.PDVBC.由Z〃G?=90。
,得BC丄DC. 又PDC DC= D,:.况丄平面PDC.•: PCU平面勿C, :.BCIPC,即PC丄〃C⑵连接AC.设点A到平面丹C的距离为h,AB//DC, Z 救=90° , :.ZABC= 90° ・从而由AB= 2, BC=1,得△力尿7的面积SbAnc= 1,由PDA_平面ABCD及PT,得三棱锥刃比的体积心宓•勿•:PDI平面ABCD, %u平面ABCD, :.PDIDC,又PD=DC=\. :.PC=y[P^+Dd=y[2, 、佢由PC丄〃C, BC=\,得△磁的面积Sz尸* 由V=~^、pnc•力=§ • ^2 ° h=§，得力=乂^・因此，点A到平面磁的距离为逅.22.仃2 分)设f(x) =3$# + 2bx+c,若$+〃+c=0, f(0) • f(l) >0.求证: ⑴方程f3= o有实根;(2)-2<-<-1；证明：⑴若臼=0,则b=_c, f(0) • f(l) =c(3臼+2力+c) = —FWO, 与已知矛盾，所以，臼HO.由日+〃+c=0,得方程3日#+2Z LY +Q =0的判别式 A =4 (厅一3ac)=4[(5+ c) ~—3ac] =4(/ + c~—ac)(1、2 3十-詞+討>。