数学中的逻辑学Logic in Mathematics华东师范大学数学系 羊丹平主要参考书[1] 逻辑学 中国人民大学哲学院逻辑学教研室/编 中国人民大学出版社 2014[2] 逻辑学基础 杨武金编著 科学出版社 2012年版[3] 形式逻辑 金岳霖主编 人民出版社 1979年版[4] 数理逻辑的思想和方法 李娜著 南开大学出版社 2007年版[5] 逻辑学是什么（The Power ofLogic）（中译本） 斯蒂芬.雷诺著 中国人民大学出版社. 2014年版[6] 逻辑要义(Essentials of Logic)（中译本）欧文.M.柯匹等著 世界图书出版社 2013年版什么是逻辑学1 逻辑学是研究思维过程中有效推理的规律、方法和应用的科学。

它撇开思维过程中推理和论证的具体内容，专门研究前提和结论之间的形式结构关系和有效推理模式，使得人们能够由真实的已知的知识（称为前提）只能推出真实的新的知识（称为结论）。

爱因斯坦指出：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础的，那就是：希腊哲学家发明形式逻辑体系（在欧几里德几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。

”爱因斯坦所说的形式逻辑体系即体现在欧几里得几何学中的实质公理化方法，是一种逻辑的应用，它的理论形式就是由亚里士多德创立的三段论演绎公理系统。

爱因斯坦所说的“通过系统的实验发现有可能找出因果关系”，就是由培根、穆勒等人所创立的归纳逻辑。

这句名言深刻的阐述了逻辑学对现代科学发展的深远影响和科学意义。

逻辑学是一门基础性学科，人类的一切思维活动和知识领域都离不开逻辑，因而逻辑学是其它一切科学的基础。

德⋅ 摩根说：“数学和逻辑是精确科学的两只眼睛”。

逻辑学也是一门工具性学科。

逻辑是人们表达和论证思想的必要工具，也是认识事物的重要工具。

逻辑是由英语中logic音译而来。

从词源上说，“逻辑”一词来源于希腊词“逻各斯”（logos）,其含义是多义的，基本词义是言辞、理性、秩序和规律，其中核心含义是“秩序”和“规律”。

引申出众多衍生含义，如：一般的规律、原理和规则；说明、解释、论证；理性、推理、与经验相对的抽象理论、与直觉相对的有条理的推理等。

中国古代称对应的学问为“名”或“辩”。

“逻辑”这个名词最初由严复翻译过来，后经章士钊提倡得以普遍使用。

孙中山先生倡导“理则学”，意为“思想之门径”、“诸学之准则”。

日本人翻译为“伦理学”，即议论、论证的条理的学问。

目前中国学者通用“逻辑学”，日本学者惯用“论理学”，中国台湾、香港及东南亚学者还用“理则学”这个名称。

逻辑学经历了古代、近代到现代的发展历程。

古代逻辑学有三大主要源流：中国先秦时期的名辩学，以名、辞、说、辩为主要内容。

主要代表人物有墨子、荀子和韩非子等；古印度带有佛教色彩的因明学，代表人物为陈那、法称等；古希腊的逻辑学，主要人物是亚里士多德，他被称为“逻辑之父”，发展了三段论的逻辑;还有斯多葛学派的克西普斯，发展了命题逻辑、研究了条件命题及其推理等。

在实际的历史进程中，中国先秦逻辑和古印度逻辑都有某种中断，没有进入世界逻辑发展的主流。

唯有肇始于古希腊逻辑的西方逻辑有相对完整的发展历史，后来成为世界逻辑发展的主流，现代逻辑学就是以它为基础发展起来的。

逻辑学在近代的发展，主要是培根等人创立的归纳逻辑。

逻辑学在近代的又一个发展方向是由黑格尔创立的辩证逻辑。

古代逻辑和近代逻辑内容，通常也称为传统逻辑或普通逻辑。

现代逻辑又称为符号逻辑、数理逻辑等。

其先驱人物首先是300年前的莱布尼兹，他提倡用数学方法研究逻辑，之后是200年前的布尔，他创立了逻辑代数又称布尔代数，本质上是一种二进制数学。

通常认为数理逻辑的真正创立者是100年前的弗雷格和罗素，希尔伯特和哥德尔建立了逻辑的元理论。

现代逻辑的发展基本上沿着基础研究和应用研究两个方向发展，基础研究包括公理集合论、模型论、递归论和证明论等；应用研究方向则包括两个方面：一是非经典逻辑分支的研究：如多值逻辑（三值逻辑、模糊逻辑、概率逻辑）、亚结构逻辑（线性逻辑、相干逻辑）和直觉主义（构造性）逻辑等；二是应用已有一阶逻辑工具于哲学、语言学等，产生了模态逻辑（时间逻辑、道义逻辑、认知逻辑、动态逻辑）、哲学逻辑（次协调逻辑（弗协调逻辑）、自由逻辑）、语言逻辑、辩证逻辑、非形式逻辑、逻辑推理等。

客观世界和人类社会的现象和情况是多样化的，逻辑学涵盖的类别也是丰富多彩。

现代逻辑学枝繁叶茂。

针对不同的对象，在不同的基本规律假设下，发展出众多分支。

在学习、研究和使用逻辑，应该深刻了解各种逻辑体系适用范围和基本规律的差异和不同，要充分清楚和理解应用对象的特性，清楚地了解其是否满足相应逻辑所需的基本条件，否则也会得不到有效的结果，甚至错误的结论。

逻辑学本身是一门博大高深的学问。

本课程的目的是介绍形式逻辑的基本知识、基本逻辑符号和它们的演算规则，特别注重在数学中的体现和应用。

形式逻辑一词最初由康德提出，指从亚里士多德到中世纪这一段时期内建立起来的逻辑科学。

其特点是抽掉思维的具体内容，只考虑思维的形式。

后来，形式逻辑有了新发展，产生了用数学方法研究逻辑的新方法-数理逻辑（符号逻辑、理论逻辑）。

因此，通常将形式逻辑分为传统的形式逻辑（或传统逻辑、经典逻辑）和现代形式逻辑（或数理逻辑）两种。

习惯上，传统的数学逻辑简称为形式逻辑。

本讲义中所要陈述的限于传统形式逻辑的内容。

形式逻辑（Formal Logic） 研究正确思维（概念、判断或命题、推理）的形式结构、规律、方法和应用，其主要研究对象是演绎推理的形式。

形式逻辑所研究的思维形式，指思维的存在和表现的形式。

思维或是形成概念，或是进行判断、或是进行推理。

因而，思维就是以概念、判断（命题）、推理这几种形式表现出来。

形式逻辑从形式方面给思维提出规范性和要求。

遵守这些规范和要求，思维就能达到形式正确性，而形式正确性是思维正确性的必要条件。

因此，形式逻辑教给人们正确地进行思维，辨识论断中的逻辑错误，以及如何准确有效地表达自己的思想。

经典逻辑的基本规律：经典逻辑是众多逻辑体系中最基本、最基础、最常用的逻辑体系。

在思维过程中，首先需要明确的最基本的问题（要素）是：（1）如何合格地表述自己和理解别人的思想，相互认可，达成共识？（2）如何确保思维过程中得到结论？（3）如何确保思维过程中得到可用的结论？（4）如何确保思维过程中得到正确的结论？缺少上面任何一个环节，都不会完成一个完整、有意义和有效的思维过程。

因此，在任何一个逻辑体系内，必须对上述四个基本要素给出基本的规定，进而在此基础上构建相应的逻辑体系。

针对上述四个基本问题，经过长期论辩和缜密归纳和总结，经典逻辑确立了相应的四条基本定律：同一律、排中律、矛盾律和充足理由律。

经典逻辑学建立在四大定律基础上。

A. 同一律（Law of identity）：同一律的公式是：Whatever is, is. – Russell译文：是其所是。

同一律要求在同一个思维过程中凡同名者必同义。

在同一思维过程，在同一时空和从同一立场，每一思维的对象、概念、判断和其它思维形式必须始终与其自身是同一的。

A是 A这里A可以是一个概念、定义、判断或其它思维形式等。

“A是A”表示在同一思维过程中，A所表述的概念、定义、判断或其它思维形式等必须是同一的。

同一律有两层含义：（1）确定性 A首先是确定的。

A如果不确定，首先不能知道A自身是什么，其次不可能对在不同时间、位置出现的A判别是否同一的A。

所以，没有确定性就没有同一性。

（2）一贯性 在一个思维过程中，一个概念或判断必须是前后一致，始终如一，不能此A非彼A。

同一律的要求和违反同一律的逻辑错误。

同一性主要包含三方面的要求：第一、同一律要求思维对象或论题同一。

在同一个思维过程中，思维的对象或论题必须同一；在讨论问题、回答问题或反驳别人的时候，各方的思维对象或论题也必须同一。

违反这一要求的逻辑错误，称为离题、跑题和转移或偷换论题。

例1.1 1860年6月30日，英国威伯福斯主教策划组织了一次千余人参加的有关达尔文进化论的辩论会。

主教指责达尔文进化论：“谁看见而且正确地证明过一些物种转化为另一些物种呢？难道可以相信菜园里的芜箐都能变成人吗？”。

他攻击达尔文学说的支持者、宣传者赫胥黎说：“坐在我对面的赫胥黎先生，你是相信猿是人类祖先的，那么请问你：你自己是由你的祖父还是从你的祖母的猿群中变来的？”这里主教使用了隐换论题的诡辩守法，将达尔文“物种进化”的正确论题隐换成“物种转移”的错误论题。

进而攻击或否定达尔文的进化论。

例1.2. 某火车站偶见一则广告：正标题： 孝者为尊，尊者得天下。

副标题： 父亲节送上一份孝心-五岳独尊酒。

这则广告巧妙地运用语义和概念的模糊，将两个完全不相干的事物（孝心与五岳独尊酒）连接成似乎密不可分的事物，给读者一种“不买五岳独尊酒即为不孝，而且事业不能成功”的心理暗示。

前者运用了大众尊崇的“百善孝为先”的传统观念，后者运用了秦始皇得天下尊为皇帝，且封禅泰山为五岳之首的典故，最后引入五岳独尊酒的品牌。

在这则广告中，两个“尊”的含义完全不同，同时，“孝道”、“秦始皇”、“泰山”和“酒”是不同的对象，广告商不断地牵强附会、隐晦地转移了论题。

转移论题，这种现象在各类商品广告中屡见不鲜，是误导以致欺诈消费者的常用手法。

第二、同一律要求概念同一。

在同一个思维过程中，使用的概念必须同一；在讨论问题、回答问题或反驳别人的时候，各方使用的概念也必须保持同一。

违反这一要求的逻辑错误称为混淆或偷换概念。

例1.3 以人为本，我是人，所以以我为本。

类似的，群众是真正的英雄，我是群众，所以我是真正的英雄。

上述推理显然都得到错误的结论。

原因在于第一和第二句中“人”或“英雄”这一概念的含义不同，前者是整体意义上的概念，后者是个体意义上的概念，二者不同一，犯了混淆或偷换概念的错误。

例 1.4 偷换概念是诡辩论者常用的手法。

亚里士多德曾列举过古希腊诡辩派的一个诡辩实例：“你有一条狗，它是有儿女的；因此这条狗是父亲。

因此你有一个父亲，它的女儿是狗，因此你本身是那些狗的一个兄弟姐妹，并且本身是狗。

”辩论者使用偷换概念的手法，把作为一条小狗父亲的狗，偷换成辩论对方的父亲。

上述实例对应着下述论证：有儿女（B）的是父亲（A）。

A有B。

有父亲（A）的是儿女（B）。

B有A。

儿女（B）是同类（C）。

B是C。

上述每句话单独看都是正确的。

如果概念同一，可得结论：B有自己的父亲，父亲有儿女，儿女是同类，因此，B与自己的兄弟姐妹是同类。

这个推理是正确的。

上述诡辩是偷换了父亲的概念。

这个例子说明，不保持概念的同一性，原本正确的推理形式，导出了错误的结论。

例 1.5 某电视台组织一场专题辩论会。