普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
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3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
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例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
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在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
A
B
2m 1m 1m 2m
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10kN 20kN/m 38kN·m
FAx A FAy 2m 1m 1m
B 2m FB
∑FX= 0 FAx= 0
∑MA (F ) = 0
FB = - 22kN (↓)
FB×4 + 38 + 20×3×0.5 + 10×2 = 0
∑MB (F ) = 0
பைடு நூலகம்
0
说明计算无误。
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例4-5 管道支架的结构简图如图所示。求 支座A的反力和杆CD所受的力。
14kN 8kN
300
300 100
A
DB
60°
C
容易判断：杆CD当为 二力杆，且为受压。画出 受力图。
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∑MA (F ) = 0
FNCD×0.3 - 14 ×0.3 - 8×0.6 = 0
FAy = 92kN (↑)
- FAy×4 + 38 + 20×3×4.5 + 10×6 = 0
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10kN 20kN/m 38kN·m
A 92
B
2m
1m 1m 2m 22
可取∑FY = 0这一未用过的方程进行校核： 92 - 20×3 - 10 - 22 = 0
说明计算无误。
图所示。已知FP=2ql，α=60°，梁的自重不计。
求支座A的反力。
A
q
FP
MA
60° A
q
FP 60°
l
B
FAx
FAy l
B
∑FX= 0 ∑FY= 0
FAx - 2ql × 0.5 = 0 FAx= ql (→) FAy -ql -2ql × 0.866 = 0 FAy= 2.732 ql(↑)
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2.三力矩形式的平衡方程 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 ∑MC (F ) = 0
式中A、B、C三点不共线。
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平面一般力系的平衡方程虽有三种形式，但 不论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡 方程。因为当力系满足基本式或二力矩或三力矩 式的三个平衡方程时，力系必定平衡， 任何第四 个平衡方程都是力系平衡的必然结果，而不再是 独立的。我们可以利用这个方程来校核计算的结 果。在实际应用中，采用哪种形式的平衡方程， 完全取决于计算是否简便。通常力求在一个平衡 方程中只包含一个未知量，避免解联立方程组。
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第二节 平面一般力系的平衡方程及其应
用
一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系平衡的必要和充分条件是： 力系的主矢FR′和主矩MO′都为零。即
FR′= 0， MO′= 0
FR
F F ' 2
'2
RX
RY
( FX )2 ( FY )2
∑FX= 0 ∑FY= 0 ∑MO (F ) = 0
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另
10kN 20kN/m 38kN·m
解
FAx A FAy 2m 1m 1m
B 2m FB
∑MA (F ) = 0 FB×4 + 38 + 20×3×0.5 + 10×2 = 0
38 + 30 + 20
FB = -
4
= - 22kN (↓)
∑MB (F ) = 0
38 + 20×3×4.5 + 10×6
FAy =
4
= 92kN (↑)
∑MA (F ) = 0
MA q
A
FAx
FAy l
FP 60° B
MA - ql 2/ 2 - 2ql ×0.866×l = 0
MA= 2.232 ql 2()
仍取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核：
M B (F )
M
A
ql
l 2
FAyl
2.232ql 2
1 2
ql 2
2.732ql 2
3kN·m 6kN
A
B
3m
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3m
∑FX= 0
6 + FAx= 0 FAx= -6kN(←)
∑MA (F ) = 0 3 + 3FB - 6×3 = 0 FB= 5kN (↑)
3kN·m 6kN
FAx FAy
A 3m
B
FB
∑FY= 0
FB + FAy= 0 FAy= -5kN(↓)
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三、平衡方程的应用
应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解 结构的约束反力，还可求解主动力之间的关系 和物体的平衡位置等问题。其解题步骤如下：
1.确定研究对象。根据题意分析已知量和未 知量，选取适当的研究对象。
2.分析受力并画出受力图。在研究对象上画 出它受到的所有主动力和约束反力，约束反力根 据约束类型来画。 当约束反力的方向未定时， 一般可用两个互相垂直的分力表示；当约束反力 的指向未定时，可以先假设其指向。
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因此，平面一般力系平衡的充分必要条件也 可以表述为：力系中所有各力在两个坐标轴上的 投影的代数和都等于零，而且力系中所有各力对 任一点力矩的代数和也等于零。
∑FX= 0 ∑FY= 0 ∑MO (F ) = 0
上式又称为平面一般力系平衡方程，是一基 本形式: 其中前两式称为投影方程，第三式称为 力矩方程。对于投影方程可以理解为：物体在力 系作用下沿x轴和y轴方向都不能移动；对于力矩 方程可以理解为：物体在力系作用下绕任一矩心 都不能转动。
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3.列平衡方程求解未知量。为简化计算，避 免解联立方程，在应用投影方程时，选取的投影 轴应尽量与多个未知力相垂直； 应用力矩方程 时，矩心应选在多个未知力的交点上，这样可使 方程中的未知量减少，使计算简化。
3m
例4-3 钢筋混凝 土刚架，受荷载及支承 情况如图所示。已知 FP= 6kN，M = 3kN·m, 刚架自重不计。求支座 A、B的反力。