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三轴直角坐标系
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三斜晶系： ≠ ≠≠90°
单斜晶系： ==90° > 90° ② 对于三方和六方晶系，采取
四轴定向：X，Y，U，Z
YΛZ= ; XΛZ= ; XΛY = = =90° =120° 三轴正端夹角互为120°
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简单的
晶面截晶轴于结点 整数比25
整数定律
实际晶体上的晶面指数为简单整数，因为指数越简 单的面网，是面网密度大的面网，而面网密度大的面网 容易形成晶面（因为能量低容易形成晶面），所以实际 晶体上的晶面就是晶面指数简单的晶面
注意 :
晶面符号中一般不能同时出现数字和符号
晶面与晶面负端相交，其指数为负 晶面与结晶轴平行时，相应的晶面指数为0
1L4：c轴 2L2 / 2P /2晶棱：a b轴
c：直立，b：左右，a：前后
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斜方晶系 abc == =90 3L2/3P a b c 轴
1L2：c轴 2P法线/2晶棱：a b 轴
c：直立，b：左右，a：前后
单斜晶系 abc ==90 >90
1L2/1P法线：b轴, 2晶棱：a c轴
AC a c hl
r 1 ( )a b c
h
kl
对于平行与晶面族(hkl)的晶带[UVW]
Ua Vb Wc 1 ( )a b c
h
kl
hU ( ), kV lW
hU kV lW 0
七大晶系轴率的特点：
等轴： a0=b0=c0
a：b：c=1：1：1
四方： a0=b0≠c0
a：b：c= a：c
三方、六方：a0=b0≠c0
a：b：c= a：c
斜方： a0 ≠ b0≠c0 a：b：c= a：1：c
三斜、单斜：a0 ≠ b0≠c0 a：b：c= a：1：c
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三、晶体定向的原则
1、晶轴的选择
单胞
x = (1 1 0) y = (2 1 0)
a x b y
a axial ratio = a:b = 1.60
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晶面符号
c
x = (1 1 1)
C
y = (h k l) = ?
Z
y = (12 3 4)
A
O
X
Y
a
B b
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晶面符号
请写出其他晶面
b
(1 1 0) (2 1 0) (1 0 0) a
晶带定律的应用
• 已知两个晶面，求包含此二晶面的晶带的符号 • 求同时属于某二已知晶带的该晶面的晶面符号 • 判断某一已知晶面是否属于某个已知的晶带 • 由四个互不平行的已知晶面, 或四个已知晶带, 求出晶体
上一切可能 的晶面与晶带(即晶棱)
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晶带定律的应用
• 举例：若已知属于同一晶带的两晶面为(h1 k1 l1)和(h2 k2 l2)， 求晶带符号。
－
(1011)
U+
Z+
(11－21)
－-
Y+
(1010)
X+
E
U
P2
P2 P1 P3
D A2019/11/29 X
根据四轴定向时3个水平结晶轴的正端
互成120交角的关系，应当有：
P2
h+k+－i=0
Y B
即：3个水平结晶轴相应的晶面指数，它
们的代数和(h永ki远l 可为以0 简化为(hkl)
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晶体的四轴定向
U
适用于六方晶系和三方晶系的晶体
Y
对称特点：晶体中唯一的高次轴为L3
或包含有L3
X
选择1个直立结晶轴和3个水平结晶轴
L3/L6：c轴， 3L2 / 3P /3晶棱 ：a b u轴
Z
a b u 轴正向之间的夹角为120
X 2019/11/29
c 轴上下直立 b 轴左右水平，右正左负 a 轴左前—右后水平，正端朝前偏左30 Y u 轴左后—右前水平，正1前6 朝后偏左30
c：直立，b：左右
a：前后但向前下方倾斜 使>90
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三斜晶系 abc 90
选择3个显著的、而且相互间较接 近于90的晶棱方向作为a b c轴
c：直立 b：左右 并朝右下方倾斜 a：大致前后方向 并使之朝前下方倾斜
使>90,>90， 则可为钝角，亦可为锐角
第五次课 晶体的定向和晶面符号
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一、为何要进行晶体定向
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
3L44L36L29PC
要了解晶体的具体形态，只知道对称型是不够的
晶体的具体形态取决于晶体的晶面与对称要素之 间的位置关系
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二、晶体定向
晶体定向：就是在晶体内部建立坐标系统。（建立坐
• 晶带符号(zone symbol)
– 在晶体上用相应的晶带轴(晶棱)符号来表示
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晶带符号
• 例如 – (1-10), (100), (110), (010)… 的交棱相互平行，组成一个 晶带; 直线CC’即可表达为此 晶带的晶带轴 – 此组晶棱的符号,即该晶带 轴的符号，为[001]（或者 [00-1]）晶带 – 在wulff网上的投影？
hx+ky+lz=0
因(h k l)晶面属于[u v w]晶带, 故直线[u v w]上的任一点均满足平 面方程, 即用u, v, w替代x, y, z, 便得到上述的晶带方程。
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晶带方程证明——卞
任何平行与晶面（hkl）的向量 r 可以通过以下方式 表示：
r AB AC
AB a b hk
hu1 + kv1 + lw1 = 0
(1)
hu2 + kv2 + lw2 = 0
(2)
h : k : l (V1W2 V2W1) : (W1U2 W2U1) : (U1V2 U2V1)
U1 V1 W1 U1 V1 W1
U2 V2 W2 U2 V2 W2
晶带定律的应用
晶面指数的Байду номын сангаас对值越大，晶面在晶轴上截距系数 值（绝对值）越小
两个晶面指数的绝对值、对应的轴单位都相等时， 则晶面与此二结晶轴等角度相交
同一晶体中，若晶面指数的绝对值相等、正负号 相反，两晶面必相互平行
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四轴定向的晶面符号（hk－il)
从数学角度来看，3个水平结晶 轴中必有1个是多余的，三者之 间具有某种的关系，由其中的任 意两者必能确定第三者。
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晶棱符号
• 四轴定向时的晶棱符号
– 以[u v m w]的形式表达 – 也有三指数形式: [u v w] • 四指数和三指数之间的比较
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晶带及晶带符号
• 晶带(zone)
– 彼此间的交棱均相互平行的一组晶面之组合
• 晶带轴(zone axis)
– 用以表示晶带方向的一根直线，它平行于该晶带中的 所有晶面，也就是平行于该晶带中各个晶面的公共交 棱方向
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晶面符号
b
(0 1 0) (1 1 0)
(2 1 0)
-a (1 0 0)
(1 1 0) (2 1 0)
(1 0 0) a
(2 1 0) (1 1 0)
-b (0 1 0)
(2 1 0)
(1 1 0)
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整数定律
Integer law
晶面在晶轴上的截距 系数之比为简单的整数比
面网密度越大 越简单
2h i
2k i
Since i is negative. But a=b=d
1 1 1 hk hi ki
hki 0
晶面族和晶向族
等效晶面-通过平移操作可以重合
• Equivalent planes: planes that are identical to each other by virtue of the ordinary translational symmetry of the lattice;
三轴坐标系 Z
U Y
X
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2. 建立度量单位（轴单位）
晶轴应与行列平行 以结点间距作度量单位 采用结点间距a0、b0、c0的比值
OH:OK:OL= a0:b0:c0 a:b:c 轴率：即轴单位的比值。
3. 晶体常数
、 、 a:b:c 轴角 + 轴率
晶体常数一定，知其形状、不知大小
晶胞常数： 、 、 a0、b0、c0 已知，则 ：形状大小确定
– 根据晶带方程hu + kv + lw = 0，可以得出：
• h1u + k1v + l1w = 0
(1)
• h2u + k2v + l2w = 0
(2)
– 解联立式(1)和式(2)的方程组，可得
[u v w] = u : v : w = (k1l2 - k2l1) : (l1h2 - l2h1) : (h1k2 - h2k1)
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晶带定律
• 晶带定律(zone law)
– 任一属于[u v w]晶带的晶面(h k l)，必定有： h u + k v + l w = 0---晶带方程
• 简单的证明
– 三维空间的一般平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0
系数A、B、C决定该平面的方向，常数项D决定距原点的距离。 那么过坐标原点且平行于(h k l)的平面方程则可以表达为