§ 1.2.1函数的概念¤知识要点：1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 .2. 设 a 、b 是两个实数，且 a <b ，则：{ x | a ≤x ≤b } ＝[ a , b ] 叫闭区间； { x | a <x <b } ＝( a , b ) 叫开区间； { x | a ≤x <b } ＝ [ a,b) ， { x | a <x ≤b } ＝ (a, b] ，都叫半开半闭区间 .符号：“∞”读“无穷大”；“－∞” 读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” . 则{ x | x a} (a, ) ， { x | x a} [ a, ) ，{ x | x b} ( ,b) ， { x | x b} ( , b] ， R ( , ) .3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则 . 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲：【例 1】求下列函数的定义域： （1） y1 ；（2） yx 3 .x 213x 1 2解：（1）由 x 21 0 ，解得 x 1 且 x 3 ， 所以原函数定义域为 ( , 3) U (3, 1) U ( 1,) .（2）由x 3 0，解得 x3 且 x 9 ，3x 1 2所以原函数定义域为 [3,9) U (9, ) .【例 2】已知函数 f (1x ) x . 求：（1） f (2) 的值； （2） f ( x) 的表达式 解：（1）由1x 1 x11. 2 ，解得 x，所以 f (2)1 x33（2）设1x t ，解得 x 1 t，所以 f (t ) 1 t，即 f ( x)1 x .1 x1 t 1 t1 x点评：此题解法中突出了换元法的思想 . 这类问题的函数式没有直接给出， 称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等 .【例 3 】已 知函数 f (x)x 21 x2 , xR . （ 1 ）求 f (x)f ( 1) 的值；（ 2 ） 计算：xf (1) f (2) f (3) f (4)解：（1）由 f ( x)f (1)f (1) f ( 1) .23421 1 xx 2f ( )x 21 x11x 221 1 2xx1.1 x 21 x 21 x2 （2）原式f (1) ( f (2) f ( 1)) ( f (3) 2f (1 )) ( f (4)f ( 1))1 3 73 42 2点评：对规律的发现，能使我们实施巧算 .正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键 .§1.2.2函数的表示法¤知识要点：1.函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值） .2.分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.3.一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f : A B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“ f : A B ”.判别一个对应是否映射的关键： A 中任意， B 中唯一；对应法则 f .¤例题精讲：【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为 x，长、宽为a－2 x，所以体积为 V＝x( a－2 x)2.又由 a－2x 0 ，解得 x a .2 a} .所以，体积 V以 x 为自变量的函数式是V x(a－2x)2，定义域为 { x | 0 x2【例 3 x3 2x 2 x ( ,1) ，求 f [ f (0)]2 】已知f ( x)=x 3 x (1, )x3的值 .∴ f (0)=解：∵0 ( ,1) ，3 2 .又∵32 >1，∴ f (32)=( 3 2 )3+(3 2 )-3=2+1=5，即f[f(0)]=5.2 2 2【例 3】画出下列函数的图象：（1）y | x 2 | ；（教材 P 练习题 3）26（2）y | x 1| | 2x 4 | .解：（1）由绝对值的概念，有y | x 2 | x 2, x 2 .2 x, x 2 所以，函数 y | x 2 |的图象如右图所示.（2）y | x 1| | 2x 4 | 3 x 3, x 1x 5, 2 x 1 ，3 x 3, x 2所以，函数 y | x 1| | 2 x 4 | 的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例 4】函数f (x) [ x] 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如[ 3.5]，2 ，4 [2.1]当 x ( 2.5,3] 时，写出 f( x) 的解析式，并作出函数的图象 .3, 2.5 x 22, 2 x 1 1,1 x 0 解： f (x) 0,0 x 1 . 函数图象如右：1, 1 x 2 2, 2 x 3 3, x3点评：解题关键是理解符号 m 的概念，抓住分 段 函数的对应函数式 .§1.3.1函数的单调性¤知识要点：1. 增函数：设函数 y =f ( x ) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1 ，x 2，当 x 1<x 2 时，都有 f ( x 1)< f ( x 2) ，那么就说 f ( x )在区间 D 上是增函数（ increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数 .2. 如果函数 f ( x ) 在某个区间 D 上是增函数或减函数， 就说 f ( x ) 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 D 叫 f(x ) 的单调区间 . 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的 （如右图 1），减函数的图象从左向右是下降的 （如右图 2）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势， 得到函数的单调区间及单调 性 .3. 判断单调性的步骤： 设 x 1 、x 2 ∈给定区间， 且 x 1 <x 2 ；→计算 f ( x 1 ) －f ( x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 2xf (x) x 1在区间（0，1）上的单调性 .解：任取 x 1, x 2∈(0,1) ，且 x1x 2 . 则 f ( x 1 )f (x 2 )2x 1 2 x 22( x 2 x 1) .x 1 1 x 2 1 ( x 1 1)(x 2 1)由于 0 x 1 x 2 1， x 1 1 0 ， x 2 1 0 ， x 2 x 1 0 ，故 f ( x 1 ) f (x 2 )0 ，即 f (x 1 ) f ( x 2 ) .所以，函数 f ( x) 2 x x 1在（ 0，1）上是减函数 .【例 2】求下列函数的单调区间：（1） y | x1| | 2x4 | ；（2） y x 2 2 | x | 3 .3x 3, x 1解：（1） y | x 1|| 2 x 4 |x 5, 2 x 1，其图象如右 .3x 3, x2由图可知，函数在 [2,) 上是增函数，在 ( , 2] 上是减函数 . （2） y x2x 22x 3, x 0，其图象如右 . 2 | x | 32x2x 3, x 0由图可知，函数在 (, 1] 、[0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、[1, ) 上是减函数 .点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法， 将函数式化为分段函数 . 第 2 小题也可以由偶函数的对称性， 先作 y 轴右 侧的图象，并把 y 轴右侧的图象对折到左侧，得到 f (| x |) 的图象 . 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象 .【例 3】已知 f ( x) 3 x 1，指出 f ( x) 的单调区间 .x 2解：∵ f ( x)3( x 2) 53 5 ，x 2x2∴ 把 g (x)5的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单x位，得到 f (x) 的图象，如图所示 .由图象得 f (x) 在 ( , 2) 单调递增，在 ( 2, ) 上单调递增 .点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象 . 需知f (x a) b 平移变换规律 .§1.3.1函数最大（小）值¤知识要点：1. 定义最大值：设函数 y f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：对于任意的 x ∈I ，都有 f (x) ≤M ；存在 x 0∈I ，使得 f (x 0 ) = M . 那么，称 M 是函数 y f (x) 的 最大值（ Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（ Minimum Value ） 的定义 .2. 配方法：研究二次函数y ax 2 bx c ( a 0) 的最大（小）值，先配方成 y a( x b )2 4ac b 2 后，当 a 0 时，函数取最小值为 4ac b 2 ；当 a 0 时，函数取最大2a4a4a2值 4acb . 4a3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后， 然后观察图象得到函数的最大值或最小值 . ¤例题精讲：【例 1】求函数 y6的最大值 .x 2 x 1解：配方为 y6，由 ( x 1 )2 3 3，得 68 .13 03( x ) 22 4 41 ) 224( x42所以函数的最大值为 8. 【例 3】求函数 y 2x x 1 的最小值 . 解：此函数的定义域为 1, ，且函数在定义域上是增函数，所以当 x 1 时， y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为 2.点评：形如 y ax b cx d 的函数最大值或最小值， 可以用单调性法研究， 也可 以用换元法研究 . t ，则 t 0 ， x 1 ，所以 y，在 t 0 时是 【另解】令 x 1t 2t t 2 2(t 1 ) 2 152248增函数，当 t 0 时， y min2 ，故函数的最小值为 2.【例 4】求下列函数的最大值和最小值：（1）2 , x [ 53 ；（）2 2 b，即 x 1 . 解：（1）二次函数y 3 2 x x 2的对称轴为 x2a画出函数的图象，由图可知，当 x 1 时，max4 ；当 x 3 时，y 29 .y min4所以函数y3 2 x x2, （2）y | x 1| | x 2 | x [ 5 ,3 ] 的最大值为4,最小值为9.2 2 43 ( x 2)2 x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知， y [ 3,3] .所以函数的最大值为3,最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析 . 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究 .分段函数的图象注意分段作出.。