点评：航空货运问题一、基本参数1、货机：假设均匀分布每天三架货机。

2、工作时间5：00—20：00设置为 t ：[0，15]？每天货机到达时间：5：00—20：00；一工作组装满装卸场：6小时；一货机装满：3小时； 装卸台的容量：1.5货机；3、费用系数：停机费（等待装货）：15000元/小时架一工作组：每小时9000元；二工作组：每小时12000元 4、服务原则：假设先来先服务二、模型建立：概率计算模型 （一）概率分布1、三架货机到达的时刻3,2,1,=it i 服从[0，15]上的均匀分布，则：密度函数：()1,01515f t t =≤≤ 分布函数：(),01515tF t t =≤≤ 2、设τ,δ,ε分别是首架货机到达时刻、第一架与第二架间隔、第二架与第三架间隔，（1）τ的分布函数331321321321321321))(1(1))(1(1)()()(1),,(1)()()},,(min{)()(1t F t t P t t P t t P t t P t t t t t t P t t t t t t P t t t t t t P t t t t P t P t F t --=≤--=>>>-=>>>-=≤⋃≤⋃≤-Ω=≤⋃≤⋃≤=≤=≤=τττ的密度函数：()()()112515151)151(3]1[3)(')(22211-=-=-==t t t f t F t F t f t t ττ ]15,0[∈t （2）其余两货机到达与第一个到达的货机的间隔21,t t ∆∆在0到15-τ之间是均匀分布的于是：τ-=∆151)(t f i t , τ-≤≤150t ；τ-=∆15)(t t F i t , τ-≤≤150t ，i =1,2 δ 的密度函数/121212()()()1()1()()F t P t P t t t t P t t t t P t t P t t δτδ=≤=∆≤∆≤=-∆>∆>=-∆>∆>221)](1[1)](1[11t F t t P t ∆--=≤∆--=()()2//15152)()](1[2)(')(11---=-==∆∆τττδτδt t f t F t F t f t t（3）第三架货机到达与第二个到达的货机的间隔ε在0和15-δ-τ之间是均匀分布的， 于是：ε 的密度函数τδτδε--=151),/(f3、联合概率分布条件概率（A|B ）公式 ()()b f b a f f b ba ,/= ()τδε,,联合概率分布：()()()11252112515*1515*2*151**151**,,22//),/(=------=--==τττδτδτδτδεττδττδτδεf f f f f pdf4、另：顺序统计量前k 个(1)k n ≤≤次序统计量的联合密度为:12112![1()]() ()!(,,,) 0 kn kk i n i n n F x f x a x x x b n k f x x x -=⎧-<<<<<⎪-=⎨⎪⎩∏其他 特别地，当3k n ==时有 ……（二）优化模型模型： →只要是优化必须给个优化模型！——如何调用、调用第二班、三班② 目标——费用③——货机到达——随机——概率分布①——费用期望值③ 约束——时间关系（1）决策变量：调用工作组（一、二个） →与到达时间有关（2）目标：费用费用=工作组装装卸台+第一架停机费+第二架停机费+第三架停机费其中：第一架停机费受前一天工作状态影响，情形比较复杂，我们不直接讨论，而是用迟滞概率讨论代替。

()()()()123,,,,,,,,x C C C τδετδετδετδε=++123,,C C C 分别代表工作组装装卸台费用、第二架停机费、第三架停机费由于货机到达——随机——概率分布——费用期望值（3）模型费用期望值（每天的平均费用）最小：()()()()min ,,,,,,DE x x pdf d d d τδετδετδεεδτ=⎰⎰⎰:st ()()()()123,,,,,,,,x C C C τδετδετδετδε=++另：费用波动程度——方差： ()()()()⎰⎰⎰-=τδεεδτεδτεδτd d d pdf E x x D i i ,,),,(,,2装卸台迟滞的概率：指在一天装船工作完成后，在第二天开始之前，未能将装卸台装满货物，这样就有可能为第二天的装船工作造成损失，其计算方法为： ⎰ΩΩ-pdfd 1在Ω，无迟滞。

三、模型求解 1、决策：制定规则（1）规则的选择：为什么要制定规则？规则1：无论任何情况，只使用一个工作组，而且在装货机前，装卸台必须卸满货。

规则2：无论任何情况，都使用两个工作组，而且在装货机前，装卸台必须卸满。

规则3：只使用一个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或是下一架货机到达。

规则4：总是使用两个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或是下一架货机到达。

规则5：如果装卸场上的贮量不足一架货机的负载，则调用两个工作组，否则只使用一个工作组。

在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或下一架货机到达。

*规则6：当货机到达时，如果装卸场上的贮量不足一架货机的负载，则调用两个工作组，否则只使用一个工作组。

在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或下一架货机到达。

*规则7：以一定的货机到达时间分布来确定是否调用两个工作组，比如三架货机很晚还未到达，则调用两个工作组…………（2）一般说明规则1、2、3一定不是最优的停机费：15000元/小时架二班费：每小时12000元规则4、5不一定规则6计算比较麻烦规则7可操作性太差注：为使讨论简单，不放弃规则1、2、3 2、模型求解 （1）（规则3）费用=工作组装装卸台+第二架停机费+第三架停机费()3123,,x C C C τδε=++假设：5：00装卸台已装满的费用公式： 工作组装装卸台：1129000C =⨯310810=⨯第二架停机费：2+3 3+4215000(5),320,5C δδδ-<+⎧=⎨≥⎩积分区域05:015015D δτδεδτ<<⎧⎪<<-⎨⎪<<--⎩5151522000215000(5)268750/91125DC C pdfdD d d d δτδδτδε---==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 第三架停机费315000(12),521215000(32),7320,(712)(75)C εδδεδεδεδεδδε--<+⋂<-⎧⎪=+-≥⋂<+⎨⎪<⋂≥-⋃≥⋂≥⎩0705:012715015015D δεεδδετδετδε<<<<⎧⎧⎪⎪<<-<<-⎨⎨⎪⎪<<--<<--⎩⎩7121533*********(12)1125DC C pdfdD d d d δδεδεεδτ---==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ⎰⎰⎰----+εδετεδε15015750)5(1500011252d d d =594580/9+20750/3 matlab 求出：jisuan1.m则：()3123(,,)E x C C C τδε=++=210.84（千元） ● 方差：略 ● 装卸台迟滞概率不迟滞的围:Ω]15,0[],10,0[],3,0[δτετδτ--∈-∈∈ 迟滞概率为：⎰⎰⎰⎰---Ω-=Ω-3010********211ττδεδτd d d pdfd Matlab ：jisuan1.mp =0.5787——高！（2）规则四：类似1261=C (千元)⎩⎨⎧≥<-=404)4(150002δδδC ⎪⎩⎪⎨⎧<≥--<<--=其它045)4(1500095)9(150003εδεδεδεδ C⎰⎰⎰---=-τδτεδτ15014090072.0112521d d d （3）规则五：1081=C⎩⎨⎧≥<+-=4300043000)4(150002δδδC ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-+≥>⎩⎨⎧--<---+----≥--≤<⎩⎨⎧-≤--+->≤=4)4(150003*********)4(25.05])4(5.05[15000)]4(25.01[6000)4(25.05)]4(25.01[6000649)9(1500060009600043εεεδδεεδδδεδδδεεδδεδC 积分可以做，很麻烦：用计算机模拟简单一些迟滞概率的计算：⎰⎰⎰---=-τδτεδτ150120602640.0112521d d d （4）五种规则的结果：费用及标准差（以千元为单位）3、结果分析：（1）规则5：所需费用最少→最优?但规则5迟滞第二天的概率比规则4要高得多，那么在长时间的运转后，规则5的迟滞费用与基本费用之和将超过规则4：可讨论（2）规则4：修改即当最后一架货机装满后，若我们只使用一个工作组，可以在第二天早上5：00之前可以装满装卸台，则只使用一个工作组，这样不增加迟滞到第二天的概率，还可以相应地减少基本费用。

基本费用：(9+12)*6=126——(9+12)*3+9*6=117——9注：改进后的规则与规则四的唯一区别在于，最后一架货机走后，如果能只用一个工作组就用一个，其它的都一样。

所以，改进后的规则相比规则四，节约的费用就是少用第二个工作组的费用。

下面来计算节约的费用：当1160≤+≤≤δττ且时可以不用第二个工作组概率为：⎰⎰⎰---=δττεδτ1501006657.011252d d d 节约的费用=9*0.657=5.913（千元）——花费< 3.0870（千元） 进一步修改后的规则4：调用第二个工作组够用为度，还可以节省 计算结果表明，修改后的规则4可以是最优的 （3）据此，我们给出下面的规则：● 要使用两个工作组。

● 在一架货机装船之前，装卸场至少应存有可装满一架货机的货物。

● 若无货机等待装货，装卸场应继续装货，直到货机到达或货场已经装满。

● 当最后一架货机离开后，若一个工作组在装卸场卸货，并且在第二天早上5：00之前可以使装卸台贮货量装满一货机，则不必使用第二个工作组。