最佳分数逼近
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班级：数学与应用数学4班
实验报告
实验目的：本次实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳逼近，“最佳”就是既要误差小，又要分母小，而且要精确度高。

我们首先需要对“最佳”给出一个具体而明确的标准，还要寻求一个求最佳分数近似值的简单易行的算法。

实验环境：Mathematica软件
实验基本理论和方法：
一提到祖冲之，人们都知道他对于计算π的贡献，他算出π的值在3.1415926与3.1415927之间，也就是知道了π的准确值得前八位有效数字，但人们往往不知道，祖冲之还给出了π的分数近似值355/113，这同样是数学史上的伟大贡献。

π是无理数，对于任何一个无理数a，不可能用分数p/q来作它的准确值，只能作它的近似值。

近似值p/q的好坏可以用绝对误差=
∆α来衡量。

∆越小，就说明这个近似值p/q的精确度-
q
p/
越高。

对于给定的分母q，总可以选择适当的分子p使p/q最接近α，也就是使误差∆最小。

此时一定有∆〈1/2q。

由此可见，要提高精确度，减少误差，一个最简单的办法就是增大分母q。

只要q足够大，
就可以使误差任意小。

祖冲之为π给出了两个分数近似值，一个是355/113，称为密率，另一个是22/7，称为约率，不但密率是分母小误差小的有秀近似值，而且约率以更小的分母7实现了误差小于0.0013，仍不失为好的近似值。

实验内容和步骤及结果分析：
问题一：求分数对无理数的最佳逼进，已知π=3.141 592 653 579…，让分母q依次取遍1到100的自然数。

对每个分母q，取p=[qπ+0.5]作为分子得到一个接近的分数p/q。

（这里符号[qπ+0.5]表示不超过qπ+0.5的最大整数，它也是由q四舍五入得到的整数。

）
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
问题二：求下列数的连分数展开
（一） 的连分数展开
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
（二）有理数的连分数展开
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
思考：做完上述有关最佳分数逼近的实验，我顿时想到了概率，毕竟概率也可以理解为一个数的逼近，所以下面为有关概率的实验。

问题一：已知在1000个灯泡中坏灯泡的个数从0到5均可能，求从中任取100个都是好灯泡的概率。

分析：事件表示1000个灯泡有i个坏灯泡，事件A表示任意取出100个都是好灯泡，则，由全概率公式有。

其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
问题二：n个人每人携带一件礼物参加联欢会。

联欢会开始后，先把所有礼物编号，然后每人任意抽取一个号，按号码领取礼物，请分别就参加联欢会的人数为n=1到20人求所有人都得到别人赠送礼物的概率，并从这些概率值推断随着参加联欢会人数的增加是否会出现所有人都得到别人赠送礼物的概率会不断变小的情况？
分析：应用有限多个相容事件的概率加法公式求解
设={第i 个人得到自己带来的礼物}，则表示至少有一个人得到自己带来的礼物，由
得到
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
结果分析：从计算结果可以看出，随着参加人数的增加，所有人都会得到别人赠送送礼物的概率不会不断变小，而是会收敛到一个约为0.367879的极限值。

实际上，从概率可知
故当n很大的时候。

问题三：某种检验方法对癌症的准确率是95%，一个人接受了检测并且结果呈阳性，假定这个人来自一个有100000人口的地区，该地区2千人得这种癌症，推断接受检测者患这种癌症的概率是多少？分析：检测的准确率是95%，意味着对呈阳性的检测结果有95%是患病的，而对成阴性的检测结果是95%是不患病的，因此仅由检测数据不能支持准确率是95%的结论。

如果事件{T>0}表示检测结果呈阳性，{T<0}表示检测结果呈阴性，用H和C表示没有患病的人和患这种病的人，则有
使用贝叶斯公式，当检测结果呈阳性时，检测者患病的概率为
其步骤是：（1）打开Mathematica软件；
（2）输入下列语句：
（3）运行后，结果如下图
结果分析：由此可见，呈阳性的检测者真正患病的概率仅为0.279，而不是想当然的认为患病概率为95%。

附录（源程序）
见文章具体步骤。