x ， y y x
0 x x y y
柯西-黎曼条件 φ和Ψ互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数 这样一种有力的工具求解此类问题。 当势函数φ和流函数Ψ二者知其一时，另一个则可利用式 （4-27）的关系求出，而至多相差一任意常数。
2( x 2 y 2 ) C
u 2 v 2，因此，A和B处的速度分别为
2 VA (4 1) 2 (4 1) 2 32(m 2 s 2 )
VB2 (4 2) 2 (4 5) 2 464(m2 s 2 ) 由伯努里方程
pA
可得
pB pA
1 对于极坐标系，可写成 v r r
v r
d v dr vr rd
在已知速度分布的情况下，流函数的求法与速度势函数 一样，可由曲线积分得出
在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数，就可求出 速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方 程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体 还是黏性流体，必然存在流函数。 等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维 流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是 存在的。
u v (4 x) ( 4 y ) 0 x y x y
该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。 由于是平面流动 0
x y
该流动无旋，存在速度势函数。
1 v u 1 4 y 4 x z 0 2 x y 2 x y
1 1 2 2 VA p B VB 2 2
1 1 2 (VA VB2 ) 1.4 10 5 1.2 (32 464 ) 139740 .8( Pa ) 2 2
【例 4-4】已知不可压缩流体平面势流，其速度势 xy ，试求 速度投影和流函数。 【解】由速度势可求得速度分量 v x 由速度和流函数的关系
第四节
一、流函数的引入
二维平面流动的流函数
对于流体的平面流动，其流线的微分方程为 dx u dy v , 将其改写成下列形式
vdx udy 0
在不可压缩流体的平面流动中，速度场必须满足不可压 缩流体的连续性方程 u v u v 0 x y x y （x，y）表示该函数
qV udy v ( dx ) dy dx y x y1 x1 y1 x1

x2 , y2
y2
x2
y2
x2
( x1 , y1 )
d
2

1
平面流动中两条流线间通过的 流量等于这两条流线上的流函 数之差。
和 的关系 三、
（1）满足柯西-黎曼条件 如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速 度势和流函数，可得到速度势函数和流函数之间存在的如 下关系
二、流函数的性质
（1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数Ψ 永远 满足连 续性方程。 2 2
yx xy
（2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ满足拉普拉斯 方程，流函数也是调和函数。 对于平面无旋流动 z 0
2 2 2 0 2 2 x y
d dx dy vdx udy x y
成为某函数全微分的 充分必要条件
函数Ψ称为流场的流函数
u ，v y x

Ψ =常数，可得流线微分方程式
vdx udy 0
由此可见, Ψ=常数的曲线即为流线，若给定一组常数值， 就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标 （x0，y0）代入流函数Ψ ，便可得到一条过该点的确定的流线。 因此，借助流函数可以形象地描述不可压缩平面流场。
vx
y ， vy x y x
x y ， vy y x
1 2 y f ( x) 2
将速度代入流函数的关系式积分
f x( x ) x x

将上式对 x 求偏导数，并考虑速度和流函数的关系则有 上式对 x 积分，得 代入原式有
（2）流线与等势线正交 是等势线簇[ （x，y） 常数]和流线簇
0 x x y y
[ （x，y） 常数]互相正交的条件，若在同一流 场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必 然构成正交网格，称为流网。
【例4-3】 有一不可压流体平面流动的速度分布 为 u 4 x，v 4 y 。①该平面流动是否存在流函数和速度 势函数；②若存在，试求出其表达式；③若在流场中A （1m，1m）处的绝对压强为1.4×105Pa，流体的密度 1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？ 【解】 （1）由不可压流体平面流动的连续性方程
v u 0 x y
不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程， 也是一个调和函数。 在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化 为求解一个满足边界条件的Ψ的拉普拉斯方程.
（3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积 流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数的物理意义。 在两流线间任一曲线AB，则 通过单位厚度的体积流量为
f ( x)
1 2
1 2 x C 2
( y2 x2 ) C
（2）由流函数的全微分得：
d
积分 4 xy C 由速度势函数的全微分得：
d
dx dy vdx udy 4 ydx 4 xdy x y
积分 （3）由于 V 2
dx dy udx vdy 4 xdx 4 ydy x y