3 个患者的治疗中，至少有一个是有效的概率. 设对各个患者的治疗效果是相 互独立的.
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
排列： Anm , Pnm ,
全排列： n!；
组合： Cnm
=
Pnm m!
,
Cnm
=
C n−m n
古典概型： 满足以下两个特点的随机试验
∞
∑ P{X = xk } = pk k = 1, 2, 且满足： pk ≥ 0; pk = 1, k =1
则称 P{X = xk } = pk k = 1, 2, 为 r.v. X 的概率分布律，简称分布律
常见的离散型随机变量的分布 (区分背景、分布律、记号)
3
贝努利试验 试验 E 中只有两个结果， A, A ；
f (x) = ⎧⎪⎨θ1 e−x θ , x > 0, (θ > 0) ⎪⎩ 0, 其他
注：指数分布的无记忆性. P( X > s + t X > s) = P( X > t)
例题 3 计算下列概率题目 1. 某公共汽车站从上午 7 时起，每 15 分钟一班车，即 7:00,7:15,7:30,7:45 等时 刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变 量，试求他候车时间少于 5 分钟的概率.
若事件 A, B 相互独立，则 A, B; A, B; A, B 也是相互独立的.
三个事件相互独立 若事件 A, B,C 满足
P(AB) = P( A)P(B); P( AC) = P( A)P(C); P(BC) = P(B)P(C); P( ABC) = P( A)P(B)P(C);
则称事件 A, B,C 相互独立.
n 重贝努利试验 可以重复进行的，相互独立的贝努利试验 (搞清楚背景)
0 −1 分布 X ∼ B(1, p)
X0
1
pk 1− p p
二项分布 X ： n 次试验中 A 出现的次数 取值： 0,1, 2, , n 分布律为
X ∼ B(n, p) 或 P{X = K} = Cnk pk (1− p)n−k k = 0,1, , n 推导，验证是分布律 几何分布 X ：直到 A 出现经历的试验次数 取值：1, 2, , n,
乘法公式： P( AB) = P(B)P( A B)或 = P( A)P(B A) 全概率公式和贝叶斯公式 样本空间 S 的一个划分：设 S 为随机试验 E 的样本空间，B1, B2, , Bn 为 E 的一组
事件，若(1) Bi Bj = Φ; (2) B1 ∪ B2 ∪ ∪ Bn = S, 则称 B1, B2 , , Bn 为样本空间 S 的
分布律为： P{X = K} = (1− p)n−1 p k = 1, , n, 推导，验证是分布律
例题 1 计算下列概率题目 1. 已知 100 个产品中有 5 个次品，现从中有放回地取 3 次，每次任取 1 个，求
在所取的 3 个中恰有 2 个次品的概率. 2. 某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.02，独立射击 100 次，记 X 为击
1
公理化定义的性质： (1) P(A) = 1− P( A);
(2) P(Φ) = 0;
(3) 对任意的事件 A, B 有 P( A − B) = P( A) − P( AB); 差事件的概率
(4) 对任意的事件 A, B 有 P( A ∪ B) = P( A) + P(B) − P( AB); 概率的一般加法公式
4
2
2. 设 X ∼ U (a,b), 求 X 的分布函数 F (x).
注：当箱子中奖券足够多时，摸奖不分先后； 概率的公理化定义 设 E 是一个随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 中的每一个事件 A 赋予一个实
数，记为 P( A) ，称为事件 A 的概率，如果他满足下列的假设：
(1) 0 ≤ P( A) ≤ 1; (2) 对于 S有 P(S) = 1; (3) 设 A1, A2, , An , 两两互不相容，则 有 P( A1 ∪ A2 ∪ ∪ An ∪ ) = P( A1) + P( A2 ) + P( An ) +
例题 2 计算下列概率题目
1. 已知随机变量 X ∼ π (λ) ，且有 P(X > 0) = 12 ,求P(X ≥ 2). 2. 某公司生产一种产品 300 件.根据历史生产记录知废品率为 0.01.问现在这
300 件产品经检验废品数大于 5 的概率是多少？
连续型的随机变量
概率密度：设 X 是随机变量，如果存在定义在整个实数轴上的可积函数 f (x), 满
第一章：概率论初步
基本概念：随机事件、古典概率、条件概率、事件的独立性
事件的关系与运算(结合集合论和文氏图来学习) 子事件(子集)、积事件 AB (交集)、和事件 A ∪ B (并集)、对立事件 A (补集)、
差事件 A − B = AB = A − AB; 互斥事件 AB = Φ 事件发生：事件 A 中至少有一个样本点出现. 处理技巧：把稍微复杂点事件处理成简单的互斥事件的和 A ∪ B = A ∪[B − A]
P(Bi
A) =
P( ABi ) P( A)
=
P(Bi )P( A Bi ) P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) +
+ P(Bn )P( A Bn )
注：不要盲目记公式，分析原因和结果
例题 3 计算下列概率 1. 某商店收进甲厂生产的产品 300 个，乙厂生产的同种产品 200 个，甲厂生产 产品的次品率为 0.06，乙厂生产产品的次品率为 0.05，求
P( A) = nA nΩ
1. 试验的样本空间中有有限的样本点； 2. 每个样本点发生的可能性是相等.(对称性和均衡性) 例题 1 计算下列概率题 (求概率前先设事件) 1. 抛两颗骰子，观察他们点数出现的情况， (1) 写出试验的样本空间；
(2) 设 A :两颗骰子点数相同， B :两颗骰子点数和为 5，求 P( A), P(B).
例题 2 利用事件关系和运算及公理化定义计算下列概率
1.
设 A, B 是两个事件，已知 P( A) =
1 4
,
P(B)
=
1 2
,
P(
AB)
=
1 8
,
求
P(
A
∪
B),
P( AB), P( AB), P[( A ∪ B)( AB)]. 条件概率
在事件 B 发生前提下，事件 A 发生的概率，记为 P( A B) = P( AB) . P(B)
2. 袋子中有 a 只白球， b 只红球，2 个人依次在袋子中取一球，
(1) 做有放回的抽样，求第二个人取得白球的概率； P( A) = a a+b
(2) 做 无 放 回 的 抽 样 ， 求 第 二 个 人 取 得 白 球 的 概 率 ；
P( A) = b ⋅ a + a ⋅ a −1 = a(b + a −1) = a a + b a + b −1 a + b a + b −1 (a + b)(a + b −1) (a + b)
中目标的次数 (1) 写出 X 的分布律；(2) 恰好击中 3 次的概率；(3)求至少击中两次的概率。
泊松分布 X ∼ π (λ) ，即 P{X = K} = λ ke−λ k = 0,1, , n, 验证是分布律 k!
结论 1：二项分布的极限分布是泊松分布 (解释泊松分布律的由来)
注：当二项分布中 n(n ≥ 10, p ≤ 0.1) 比较大时，用泊松分布代替二项分布来计算.
足条件：
+∞
∫ (1) f (x) ≥ 0, −∞ < x < ∞, (2) f (x)dx = 1, −∞
∫ (3) 且对任意的实数 a,b(a < b) 有 P{a ≤ X ≤ b} =
b
f (x)dx.
a
注：对于连续型随机变量 X 而言，
(1)
P{X
=
a} =