解析几何期末试卷A 参考答案及评分标准
一、（10分）写出下列方程在空间所表示的图形名称.
1．13212
22-=++z y x 虚椭球面 2．02
22=++-z y x 二次锥面（圆锥面）
3．1321222=++-z y x 单叶双曲面
4．y z x 22122=+ 椭圆抛物面 5．y x 22
= 抛物柱面 .
二、（10分）试证：对于给定的四个向量}3,5,1{=a ，}2,4,6{--=b ，}7,5,0{-=c ，
}35,27,20{--=d ，总可以确定三个实数l ，m ，n ，使得a l ，b m ，c n ，d 构
成封闭折线.
证明：假设a l ，b m ，c n ，d
构成封闭折线，则
=+++d c n b m a l （4分）
于是 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+--=-+0
357230275450206n m l n m l m l （6分） 解出 2=l ，3=m ，5=n
所以命题成立. （10分）
三、（15分）设向量a ，b ，c 两两互相垂直，1||=a ，2||||==c b ，并且向量c b a r -+=，证明：
1,cos ,cos ,cos 222>=<+><+><c r b r a r
. 证明：因为
22)(c b a r -+=)(2222c b c a b a c b a ⋅-⋅-⋅+++=， 由题设条件可得
3||=r ， （5分） 于是
31||||,cos =
⋅>=<a r a r a r
，
32
||||,cos =
⋅>=<b r b r b r ，
32||||,cos -
=⋅>=<c r c r c r
（12分） 所以
1,cos ,cos ,cos 2
22>=<+><+><c r b r a r （15分） 四、（10分）试求经过点)1,2,4(-P 和x 轴的平面方程. 解：由于平面过x 轴，可设为
0=+Cz By （5分）
以)1,2,4(-代入，得 02=+-C B
于是 B ：C ＝1：2 （8分）
故所求平面方程为
02=+z y （10分）
五、（10分）试求经过点)1,0,1(-P ，并且与直线1l ：
321z y x =
=和2l ：43
1221-=-=-z y x 都相交的直线的方程.
解：过)1,0,1(-P 与直线1l 的平面方程为
3
2101000
10
00=-------z y x
即
02=+-z y x （4分） 过)1,0,1(-P 与直线2l 的平面方程为
4
1
2
312011321=-------z y x
即 022=--+z y x （8分）
∴所求直线方程为 ⎩⎨
⎧=--+=+-02202z y x z y x （10分）
六、（10分）证明直线1l ：01123-==-z y x 与2l ：
10211z
y x =
-=+是异面直线. 证明： 1l 的方向向量 }0,1,2{， 2l 的方向向量 }1,0,1{ （4分） 取 1l ， 2l 上的点 )1,0,3(， )0,2,1(- （6分）
计算
71
1
012
0120)1(3≠=----
所以 1l 与 2l 是异面直线. （10分）
七、（10分）试求到定点与定直线的距离之比等于常数0>λ的点的轨迹方程，并根据λ的
取值范围，说明轨迹的形状（注：假定定点不在定直线上）. 解：设定点不在定直线上，建立坐标系，使定直线为x 轴，定点为),0,0(c C ，（0≠c ）. 设动点为),,(z y x P ，则由假设可知
),(),(轴x P d C P d λ=， 即 2
2222)(z y c z y x +=-++λ 平方，得 02)1()1(2
22222=+--+-+c cz z y x λλ（5分）
①当1=λ时，得 022
2=+-c cz x
即
)
2(22c
z c x -= 此为抛物柱面. （8分）
②当1≠λ时，得
22
222
2
2
2
2
1)1)(1()1(λλλλλ-=---+-+c c z y x ， 则当1>λ时，此为单叶双曲面；
当 10<<λ时，此为椭球面. （10分）
八、（10分）试求单叶双曲面∑：116492
22=-+z y x 上，经过点)0,2,0(M 的两条直母线
方程.
解：∑上两族直母线：
λ族：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+)21()43()21()43(1221y z x y z x λλλλ μ族：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+=--=+)21()43()21()43(1221y z x y z x μμμμ
将 )0,2,0(M 分别代入，可得 02=λ， 01=μ （6分）
分别代入，可得所求直线方程：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=+02
1043y z x
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=-043021z x y 即 ⎩⎨
⎧=-=+02034y z x
⎩⎨
⎧=-=-02034y z x .（10分）
九、（15分）在欧氏平面上，将方程
0844222=+--+-y x y xy x 化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线.
解：由 022cot 12
22
11=-=
a a a θ
得
4π
θ=
于是 0tan 121111
=+='θa a a 2tan 122222
=-='θa a a 22sin cos 231313-=+='θθa a a
0cos sin 231323=+-='
θθa a a
原方程化为： 04222
=+'-'x y 配方
0)2(222=-'-'x y 作平移变换 ⎩⎨
⎧'=''-'=''y y x x 2 原方程化为
x y ''=''222. （5分） 所以原方程表示抛物线. （10分）
作图 （15分）。