二次根式运算和化简(超级经典)
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二次根式的运算
【知识梳理】
1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。
2、 二次根式具有如下性质：
（1）()
()02≥=a a a ； （2）⎩⎨
⎧<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥⋅=b a b a ab ，；
（4）()00>≥=b a b
a b a ，。
3、二次根式的运算法则如下：
（1）()()0≥±=±c c b a c b c a ；
（2）()()0≥=a a a n n 。
4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。
5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。
6、最简二次根式与同类二次根式
（1）一个根式经过化简后满足：
被开方数的指数与根指数互质；
被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；
被开方数不含分母。
适合上述这些条件的根式叫做最简根式。
（2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。
【例题精讲】
【例1】已知254245222+-----=x
x x x y ，则=+22y x ___________________。
【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。
【巩固二】已知200911+-+
-=x x y ，则=+y x _______________________。
【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --⋅+-=
-++--+19919932253，
求m 的值。
【例2】当b a 2<时，化简二次根式a
b ab a b a a 2
2442+--。
【巩固】
1、化简()2
232144--+-x x x 的结果是__________________。
2、已知0<a ，则()22a a -等于（ ）
A.a
B.a -
C.a 3
D.a 3-
3、已知c a b <<<0，化简()()()2222c b b a a c a -++--+。
【例3】多重二次根式的化简：
（1）324324-++； （2）223810++。
【巩固】化简：（1）=+21027______________________；
（2）=+-526425________________________；
（3）4156110x x x x ++++
+++=______________________；
【拓展】化简111119911993199419951996++++⨯。
（1）()(
)23362
3346++++； （2）2115141021151410+++--+。
【巩固】计算：
（1）
75235213515+++++； （2）4266777647511+++++。
【拓展】设2008
20071
321
211
++++++= M ， 200820074321-++-+-= N ，则
()21+M N 的值是__________________________。
二次根式的化简求值
【知识梳理】
有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点，这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形。
【例1】设55+=
x ，55-=y ，求66y x +的值。
【巩固】
1、设12121212-+=+-=
y x ，，求22y xy x +-的值。
2、已知321321-=+=
y x ，，求()()
221111+++y x 的值。
【拓展】已知32-=x ，求432565x x x x -+-的值。
【例2】已知21=+
x x ，那么1
91322++-++x x x x x x 的值等于______________。
【巩固】
1、若a a x -=1，则24x x +的值为（ ） A.a a 1-
B.a a -1
C.a
a 1+ D.不能确定
2、已知51=+
x x ，求1
122+--++x x x x x x 的值。
【例3】已知b a 、是实数，且
()()11122=++++b b a a ，问b a 、之间有怎样的关系？请推导。
【巩固】已知()()20082008200822=++++y y x x ，求58664322+----y x y xy x 的值。
【例4】已知b a 、均为正数，且2=+b a ，求1422+++=b a U 的最小值。
【巩固】求代数式()912422+-+
+x x 的最小值。