三角形等高模型与鸟头模型模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则S ABC： S A ADE (AB AC)： (AD AE)厘米，求△ ABC的面积.【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE AD : AB 2 :5 (2 4): (5 4),S A ABE : S A ABC AE : AC 4 : 7 (4 5) : (7 5)，所以S A ADE : S A ABC(2 4) : (7 5)，设S A ADE8 份，则S A ABC 35份，S A ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例1】如图在△ ABC中, D,E 分别是AB,AC 上的点，且AD: AB 2:5 , AE: AC 4:7 , S A ADE16平方图⑵【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少?••• EC 3AE【解析】连接AD .••• BE 3 , AE 6--AB 3BE , S ；ABD 3S ； BDE又••• BD DC 4 ,--S ；ABC 2 S/ ABD ，…S /ABC 6S /BDE , S 乙 5Sp .【解析】连接BE ,S A ADE : S A ABEAD : AB 2:5 (2 3): (5 3)3: (3 2) (3 5): (3 2) 5 ,所以 S A ADE : S A ABC (3 2): 5 (3 2) 6份，则S A ABC 25份 ,S A ADE12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， A ABC 的面积是50平方厘米•由此我们得到 一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 （相等角或互补角）两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为AB 的中点，AF 2CF ，三角形AFE （图中阴影部分）的面 积为8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？【例2】如图在△ ABC 中，D 在BA 的延长线上，AE:EC 3: 2 , S A ADE 12 平方厘米，求 E 在AC 上，且AB: AD 5:2 ,△ ABC 的面积.--S VABC3SVABE又••• AB5AD --S VADES VA BE5 S VA BC15,…S V A BC 15S ；ADE 15 -【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分,积是甲部分面积的几倍？BD DC 4，BE 3，AE 6，乙部分面S A ABE : S A ABC AE : AC6 : 25 ,设 S A ADEC【解析】E连接FB.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的(3 2)6倍•因此，平行四边形的面积为8 6 48(平方厘米).【例5】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE 2:5 , BC:CD 3:2，三角形BDE的面积是多少？【解析】由于ABC DBE 180，所以可以用共角定理，设AB 2份，BC 3份，贝U BE 5份，BD 3 2 5份，由共角定理S ABC : S A BDE (AB BC):(BE BD) (2 3):(5 5) 6:25，设S A ABC 6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 12.5平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例6】( 2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE角形DEF的面积为________ 平方厘米.1 1【解析】由题意知AE -AC、CF -BC，可得CE3 3【解析】【例4】已知△ DEF的面积为7平方厘米，BE CE, AD 2BD,CF 3AF，求△ABC 的面积.S A BDE : S A ABC(BD BE):(BA BC)(11):(23)1:6 ,S A CEF : ABC(CECF):(CB CA)(13):(24)3:8S A ADF : S A ABC(AD AF):(AB AC)(21):(34)1:6设S A ABC24份，则S A BDE 4 份，S A ADF4份，S A CEF9份，平方厘米，所以S A ABC24平方厘米S A DEF 24 4 4 9 7份，恰好是72-AC .根据”共角定理”可得,3DF【解析】3 .S CEF : S A ABC (CF CE)：(CB AC) 1 2:(3 3)2:9 ；而 S A ABC 6 62 18 ；所以 S A CEF 4 ；冋理得，S ACDE : ACD 2 ：3 ；, S ^CDE 18 3 2 12 , S ACDF 6S A DEC S A DFC 4 12 6 10(平方厘米).连接AE 、CD . ..5V ABC6,S VABC I ,1--S VD BC 1 .1，所以 S VFCE8 .5A GCF8, S A DHG 15, SA AEH 8.所以S V DEF S VA BCS VF CE S VA DF S VBDE【例8】如图，平行四边形 ABCD , BE AB , CF 面积是2 ,求平行四边形 ABCD 与四边形EFGH 的面积比. 2CB , GD 3DC , HA 4AD ，平行四边形 ABCD 的【解析】E 连接AC 、BD •根据共角定理 •••在△ ABC 和 A BFE 中, .S A ABCFBEABC 与 FBE 互补, AB BC 1 1 BE BF 1 3又S ABC1，所以 S ^ FBE 同理可得【例7】 如图，已知三角形CA 至 F , 使AF ABC 面积为1，延长 AB 至D ，使BD AB ;延长BC 至E ，使CE 2BC ;延长 3AC ，求三角形DEF的面积. 【解析】 故 S A DEFS *A CEFS VDBC同理可得其它，最后三角形 DEF 的面积 （法2）用共角定理•••在VABC 和VCFE 中, .S VABCS VFCEAC BC 11 1 FC CE 4 2 8 18.ACB 与 FCE 互补,同理可得 S VADF6 , B/BDE3 .（法1）本题是性质的反复使用.【例9】如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA 的面积.AB ,CBBF , DC CG , HD DA，求四边形ABCD【解析】【例10】【解析】【例11】【解析】HBC GD冋理S A ABD所以S A AHE连接AC ,S四边形EFGHCF) 1:2，即S A CGF连接BD •由共角定理得S A BCD:S A AHE1・2 ，即卩S A AHE 2 S A ABDSA CGF2(S A CBD S A ADB ) 2$边形ABCD同理可以得到S A DHG S A BEF 2S0 边形ABCDS\ AHE SA CGFSA HDG SA BEF S四边形ABCD 5S四边形ABCD2S A CDB所以S四边形ABCD 66 5 13.2平方米ABCD的四条边如图，将四边形四边形ABCD的面积为5，则四边形连接AC、BD •由于BE 2 AB , BF 2BC，于是AB、CB、CD、EFGH的面积是AD分别延长两倍至点S BEF 4S ABC，冋理S HDG 4 S于是S BEF S HDG4S ABC4S ADC 4 S ABCD •再由于AE3AB , AH3AD，于疋S AEH于是S AEH S CFG9S ABD9S CBD9S ABCD•那么S EFGH SBEF S HDG S AEH S CFG S AB'9S ABD，冋理S CFG 9S如图,ADC•CBD•H，若CD 4S ABCD 9S ABCD S ABCD 12S ABCD60•在△ ABC中，延长AB至D，使BD AB，延长BC至E，使CE - BC , F是AC的2中点，若△ABC的面积是2，则A DEF的面积是多少?•••在△ ABC和厶CFE中,.ABCS A FCEAC BC 2 2FC CE 1 1ACB与FCE互补,41 •又S VABC 2，所以S VFCE0.5•同理可得S A ADF 2, S A BDE 3•所以 S A DEF S A ABCS A CEFS A DEB S A ADF 2 0.5 3 2 3.5491 , BC 5BD , AC 4EC , DG GS SE , AF FG •求 S VFGS .【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也 可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 4 3 2 1 最后求得SA FGS 的面积为S A5 4 3 2【例13】如图所示，正方形 ABCD 边长为8厘米,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点,当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积 S VAEF 8 , S VEFG 8，再根据”当两个三角形有一个角相等 或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比” ，得到S VBFCS VABF 24，所以S VABG12平方厘米.【解析】3种情况.1丄 210因为 S A BCFS ACDE 8 16，根据”4比等于夹这个角的两边长度的乘积比” 16 , S ABFE 32 ,【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则 AGF 与CEH 都是正三角形.假设正六边形的边长为为 a ，贝U AGF 与CEH 7,那么它的面积为单位小正三角形面积的1 一 所以一个单位小正三角形的面积为 -，三角形DEF 的面积为 .6 64 3 12 4a , FB 3a ，所以 AFB 与三角形 DEF 的面积之比为 —— 一形组成的,由于FA的边长都是4a ，所以大正三角形49倍.而一个正六边形是由___ _____ 49DEF 的边长为6个单位小正三角【例12】 如图，S A ABC【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.同理可知BDC、12AEC与三角形DEF的面积之比都为一，所以ABC的面积占三角形DEF面积【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是 ____________【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半， 也就是都等于一个正六 边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线 AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边 1 11 1 2形面积的-，所以虚线外图形的面积等于 1 32 3-，所以五边形的面积是 103 6 .66 33 3所以 SEFGH SA AEH SA CFG S A DHGSA BEF S ABCD 8 8 15+3+236 .所以9 z 丄.S EFGH 36 18123 13，所以 49 49ABC 的面积的面积为49 "6 13 49 13~6。