课题1 二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数；
n 阶行列式的定义；对换.
1、二阶行列式
把二元线性方程组11112212112222
a x a x
b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ （1）
的四个系数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列的数表
111221
22
a a a a （2）
其运算表达式11221221a a a a -称为数表（2）的二阶行列式，
记为
11121122122121
22
a a D a a a a a a =
=- （3）
理解：（1）数(1,2;1,2)ij a i
j ==称为行列式（3）的元素
或元，即行列式（3）的元素可表为(1,2;1,2)ij a i j ==，
其中i 为行标，j 为列标。

元素ij a 位于该行列式（3）的第i 行
第j 列或称为行列式（3）的第(,
)i j 元.
（2）把11a 到22a 的联线称为主对角线，12a 到21a 的联线称为副对角线，二阶行列式等于各元素主对角线之积减去副对角线各元素之积.
（3）行列式表示按某种法则运算的结果.
利用行列式的概念，二元线性方程组（1）的求解过程
可写为
111221
22
0a a D a a =
≠，11212
22
b a D b a =
，
111222
2
a b D a b =
.
所以 11D x D =，2
2D x D
=.
自学P 2例1. 2、三阶行列式
定义：设有9个数排成3行3列的数表
11
1213
21222331
3233a a a a a a a a a （4） 记为
11
1213
21
222311223312233131
32
33
a a a D a a a a a a a a a a a a ==+ 132132132231112332122133a a a a a a a a a a a a +---. （5）
（5）式称为数表（4）所确定的行列式.
例1 计算三阶行列式
2
2
21
11a b c a
b
c
. 解 原式=2
22222bc
ca ab ba cb ac ++---
=()()()a b b c c a ---. □ 自学P 3例2。

例2 求解方程
2
11123
049x x =.
解 方程左端的三阶行列式可化为 2223418921256x x x x x x ++---=-+，
由
2
560x x -+=，解得 2x =或3x =. □
3、全排列及其逆序数
逆序数：对于n 个不同的元素，先规定各元素之间有一
个标准次序（通常规定由小到大为标准次序），然后由这n 个元素所组成的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，得到一个逆序，所有这些逆序的总数称为这个排列的逆序数，用字母t 表示.
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例3 求排列32514的逆序数.
解 规定标准次序为123450.于是在排列32514中，首位元素3的逆序数是0，第2位元素2的逆序数是1，第3位元素5的逆序数是0，第4位元素1的逆序数是3，末位元素4的逆序数是1. 所以它的逆序数为
t =0+1+0+3+1=5. □
例4 按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数. 13
(21)24(2)n n -
解 在这个排列中有2n 个元素，其中前n 个元素组成的排列13
(21)n -的逆序数是0.第1n +位元素2与它前面
除元素1外的其它1n -个元素都构成逆序对，故它的逆序数是1n -.同理，第2n +位元素4的逆序数是1n +，…， 末位元素2n 的逆序数是0. 所以它的逆序数为
t =1
(1)(2)0(1)2
n n n n -+-+
+=-. □
根据逆序数，三阶行列还可以改写为
123111213
21222312331
32
33
(1)t p p p a a a a a a a a a a a a =-∑ （6） 其中，1p 、2p 、3p 在1～3中任取三个不同的数，t 为排列123p p p 的逆序数，∑表示对123123(1)t
p p p a a a -取代数
和.
4、n 阶行列式的定义
我们把（6）式推广到一般情形，得到n 阶行列式的定义
定义：设有2
n 个数，排成n 行n 列的数表
11121212221
2
n n n n nn
a a a a a a a a a
记
12
1112121222121
2
(1)n n n t p p np n n nn
a a a a a a D a a a a a a =
=-∑.
称为n 阶行列式，简记为det()ij a ，其中数ij a 为行列式D 的
(,)i j 元.
例 5 证明n 阶主对角行列式
1
2
12n n
λλλλλλ=.
证明
(1,2,,)i i n λ=为行列式的(,)i i 元，于是记为
i ii a λ=，所以
1
11
2
22
n
n n
a a a λλλ=
1112
12
(1)(1)t
t
nn n a a a λλλ=-=-，
其中t 为排列12
n 的逆序数，显然t =0. □
练习1 证明n 阶副对角行列式
1
(1)2
2
12(1)
n n n n
λλλλλλ-=-.
例6 证明行列式
1121221122
1
2
nn n n nn
a a a D a a a a a a =
=.
证明 由于当j i >时，0ij a =，所以在D 中不为0的
元素i
ip a ，其下标必有i p i ≤，即11p ≤，22p ≤，…，n p n ≤.
从而1
1p =，22p =，…，n p n =. 所以
12
n p p p =12…n ，此时，0t =.
所以 D 11221122(1)
t
nn nn a a a a a a =-=. □
注：主对角线以下（上）的元素都为0的行列式称为上（下）三角形行列式，它的值等于主对角线所有元素的积. 练习2 证明上三角形行列式
11
12122211220
n n nn nn
a a a a a D a a a a =
=.
5、对换
（1）定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换. （2）关于对换的几个重要结论
结论1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
结论2 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
结论3 行列式依副对角线翻转、旋转180°
所得到行列式的值不变.
6、作业 P 25-27 1、2（2）（4）（6）、5（1）.。