基于GEM模型和离散小波变换的图像修复方法让·格姆士，安东尼·库马尔摘要：在本文中，我们提出了一种新颖的期望最大化算法，使用一种新的离散多尺度方向的稀疏表示称为离散小波变换（DWT）应用于自动彩色图像修复。

众所周知，传统小波都不能有效处理分布不连续的多维信号，如边缘处。

采用基础元素与更高的定向敏感性法的方法可以实现更有效的表示。

而最为有效表示图像的边缘的方法是利用小波变换使多尺度方法的能力相结合一种能够捕捉多维数据的几何形状的独特的能力。

待修复的部分可以被看作是插值或者估计问题与数据缺失。

为了实现这一目标，我们建议使用期望最大化（EM）算法在贝叶斯框架上，用于恢复丢失的样本，使用的是稀疏表示的离散小波变换（DWT）的想法。

我们首先介绍一个简单而有效的稀疏表示的离散小波变换（DWT）的图像修复的迭代算法。

然后，我们推导出它的收敛性。

我们可以证明，这种基于新的稀疏表示—离散小波变换的算法在图像修复中的应用，无论是在性能方面还是计算效率上都具有一定竞争力。

关键词：稀疏表示，小波，离散小波变换，系统修复，优化，期望最大化1.简介图像修复是指填充在图像中丢失或损坏的区域（如裂缝或疤痕）。

在美术博物馆，专业艺术家对图像进行传统的图像修复，通常是非常耗时的，更不用说由于直接修复而造成图像完全被破坏的风险。

从数学角度来说，图像修复本质上是一个插值问题。

从而在计算机视觉和图像处理上直接重叠与其他许多重要的任务，包括图像转换、图像修补、缩放、超分辨率和错误隐藏。

当前的工作是激励和启发错误隐藏的应用程序，其实就是自动恢复在传输过程中所丢失的数据包信息。

在小波域内图像修复或使用稀疏表示是一个完全不同的问题，因为这种方法没有定义的图像修复区域的像素域。

在新的图像压缩标准JPEG2000发布之后，这个新的标准在很大程度上是基于小波变换，许多图像不仅是格式化的并且存储在小波系数中。

在这些图像无线传输时，它可能会在传输过程中发生随机丢失或损坏某些小波数据包。

在小波域上，用小波变换从这些丢失或损坏小波包的图像中恢复原始图像是图像修复的难题，这种方式的任务明显不同于传统的图像修补方法。

在传统的图像修复方法中，在稀疏词典中运用著名的Daubechies 小波7/9[1][2]双正交分解。

这些传统小波不能有效处理诸如如边缘处的含有分散式间断部分的多维信号。

因为这种处理，常常导致形成Gibbs吉布斯型构件式假象[6]，其周围明显的锐利，不连续。

由于小波系数较小的会被消除，所以系数较小的小波会被保留。

虽然新的小波扩展，如曲率波和轮廓波都有一个更好的逼近速率，但它们也可能遭受到来自相同同类型的影响。

TV模型是强大的修复工具，因此图像修复能大大减少形成这些Gibbs式假象。

但是，TV模型受到阶梯实例，即平滑区域（斜面）转化成片智能的恒定区域的影响。

在本文中，为了克服这些不足之处，一种新的广义期望最大化（GEM）模型被提出，由此建立了新的小波框架。

它的主要特点是离散小波变换具有灵活的属性，从而更具稳定性及降低Gibbs式假象的性能。

EM算法是根据对先前的迭代系数的估计，用估计数据替换丢失掉的数据，形成完整的数据。

然后用完整的数据对新的膨胀系数重新估计，并进行迭代的过程，直到收敛[5][6]。

虽然EM理论能够发展成定期指数族，但是我们在这里仍把它限制为零均值的加性高斯白噪声。

在此提出的EM算法模型要优越于TV模型，我们将证明这种基于小波同EM算法相结合的新模型在叶贝斯框架演示中，其性能优于传统的小波技术。

此外，迭代的次数明显减少。

本文安排如下：在第二节，我们将要简要介绍离散小波变换（DWT）；在第三节，给出了期望最大化算法的简要分析；在第四节，阐述了利用稀疏表示DWT和GEM算法；在第五节，提出了图像修复方法在小波域内的收敛性能；在第六节，用数值试验说明了该方法的有效性。

最后，我们得出了结论。

2.离散小波变换（DWT）人们现在普遍认为，传统的小波模型对多维数据部分不适用。

事实上，小波处理奇异点的方法是唯一有效的。

在更高的层面，通常存在其他类型的奇异点，甚至占据主导地位，但是小波却不能非常有效的处理这些图像的奇异点，例如典型地含有诸如边缘的尖锐过渡的图像和这些波基原理广泛相互作用的图像。

其结果是，需要在小波表示的许多协议中，准确地表示这些对象。

为了克服传统小波的局限性，在本文中，引入了一个新的小波变换，即离散小波变换。

A.连续小波变换连续小波变换是一种的非各向同性的连续小波变换，具有优越的方向敏感性在维数n=2，定义映射为，,,(,,),a s t SH f a s t f ψψ=<>分析上式中每个元素,,,a s t ψ称为有双梯形支持频率的小波。

在不同的尺度，要考虑起始点的对称和调整沿线的斜率s 。

当由a →0时，表示这种支持会变得越来越弱。

其结果是在不同尺度中，小波形成一些明确的波形。

a,s,t 分别表示波形、方向和位置，典型的小波频率如图1所示。

图1.对于不同值的小波支持频率B．离散小波变换通过对连续小波变换的采样，适当的缩放、剪切和转换参数a,s,t，可以得到了一个与Parseval结构相关联的离散变换2L（2R）。

下面介绍小波变换的构建和步骤，如图2所示。

（1）应用拉普拉斯金字塔计划，把1j a f 分解成一个低通图像j a f和一个高通图像j d f。

（2）在伪极地网格中计算P j d f（3）用一个带通滤波器对矩阵P j d f进行处理（4）重新组装笛卡尔采样值，并用逆二维傅里叶变换计算图2.阐明了连续的拉普拉斯金字塔和定向滤波3.广义期望最大化算法让我们现在转向丢失数据的情况下。

写出(,)obs miss Y Y Y =，其中{}m m i s s i i I Y y ∈=是丢失的数据，{}o obs i i I Y y ∈=。

不完整的观察值不包含所有的信息，所以解决这一问题的方程时标准的方法不适用。

尽管如此，EM 算法可以进行迭代，重构丢失的数据，然后求解新的估计方程。

估计值是反复被迭代精确的，直到迭代收敛。

回想一下，EM 算法是一种在PMLE 很难获得的情况下，获得参量的MAP/PMLE 估计值的方法。

（贝叶斯）EM 算法，将产生一系列的估计量相互转换，有两个步骤：E-step 计算可能记录的完整数据的条件期望，通过规定的替代函数得到观测数据和最新的估计值()t θ：M-step 根据最新的估计：E-step对于常规指数族，是已知的E-step 包括完整数据Y 的充分统计量的期望值，给出参数obs Y 和 ()t α和2σ的估计值。

然后，作为是高斯白噪声零均值，E-step 减少对缺损数据的条件期望值和条件期望平方值的计算，即：I I y y mTi obs ti i i t E ∈∈⎩⎨⎧==022(t)(t)obs i )(),,,(Y y αφφσαM -step这一步骤是通过在E-step 中的迭代参量t,最大限度的处理替代函数和遗漏的观察值，即：2(1)()2221arg min ()log 222t t n Y θφαλψαπσσ+=-++ 因此，根据M-step 自己中最新的(1)t X+和2σ值： 0(1)()2(1)()22()01[()()]t t t t t i i i I X D Y y x n n n φφσσ++∈=+=-+-∑其中，00 n trM Card I ==是观测到的像素数量。

D 表示以估计操作为准，将相关的补偿函数()ψα应用到膨胀系数Φ上。

注意，在收敛性上，我们已经有了：02^2(1)2()()201()t t t i i i I y x n σσσ+∈==-∑这是掩码内的噪声方差。

如果事先知道噪声方差，在M 步骤的2σ再估计可以忽略不计。

M-step 的一个非常重要的特征是，如何去噪，取决于补偿函数的选择。

例如，根据1l 规则补偿和正交字典, (1)t α+可以使用已知的软阈值方案简单的估计。

这也可以扩展到冗余表示，稍后我们将会看到。

在M-step 中，其他先前补偿会导致不同的估计规则。

4.稀疏表示：基于离散小波变换的修复方法小波域修复的GME 模型[2]如下：要求：观测图像Yobs 和掩码M ，收敛极限δ，1：重复2：E-step3：更新图像估计值：()()()t t obs Y Y I M X =+- 4：M-step5：在字典里做每个转换k6：计算转换系数()()()t t obs Y Y I M X =+-7：把估计操作k D （如软阈值）应用到系数，并得到(1)t α+8: 结束9：更新(1)(1)t t k k k X φα++=∑10：根据（9）更新2(1)t σ+。

11：直到收敛 (1)()2()2t tt x x x δ+-≤5.GME 模型在小波域的收敛性在文献[5,7]中，没有进一步的假设EM 算法的计算结果保证其收敛到一个局部或总体的范围。

比如，如果补偿函数是凸状，则补偿记录的似然性将会是严格凸状的，EM 算法将保证收敛到唯一的最大的补偿似然值和一个唯一的最佳图像，这就是[7]中的结果。

但是，如果补偿函数不是凸状，那么贝叶斯的EM 估计值的次序只能收敛到一个固定点。

衔接处算法的初始化决定了图像的融合，正如在文献[5]中，收敛率（至少初始位置离准确的图像不是太远）是线性的，并由一部分缺损信息决定。

这部分缺损信息可以在Fisher 信息矩阵中得到。

因此，在这里我们决定使用观测到的图像的一部分obs Y 作为一个初始估计。

许多令人关注的补偿法所产生的稀疏方案是非凸性的或是非光滑的，不幸的是，使用这种方法，它们不能保证收敛到局部，甚至是以局部最小为代价的情况下。

为了解决这个主要的缺点，我们使用相同的启发式参数作为MCA，这为我们提供了一个统计学的解释。

事实上，在M-step中可以把补偿记录似然函数作为Gibbs能量。

这里，正规参量与温度在模拟退火试验的原理相应。

然后，我们在高温下（即λ），然后按照规定的计划（如指数或线性）降低λ。

对于每一个λ值，我们运行GEM修复算法的迭代进行计算，该算法具有EM的随机性特点。

6.性能比较在我们先前研究中，基于拉普拉斯算子和TV模型的图像修复算法，被应用于合成和图像退化，从而我们提出了几个例子。

图1描绘了一张退化了的老照片的例子。

这本词典中包含了小波变换和被补偿的凸行值1l，阈值参数是固定的经典值3 ，从而得到图像，如图3所示。

我们可以看到，基于p-laplacian算子的小波修复模型可以够显著地提高图像质量，特别是在大量系数受损的情况下，优于TV小波修复模型的效果。

图3 （a）破损图像(b)分离待修复部分(c)图像修复模型为了便于比较，表1表示峰值信噪比的计算和测试值，从峰值信噪比的值中可以说，我们可以很容易地说，使用稀疏表示DWT能够自动增加修复算法的性能。