x=100000; r=0.003; b=1000; K=ceil((log(b/r)-log(b/r-x))/log(1+r))
也可以用条件循环语句按差分方程迭代计算，直到 xk 0 停 止. 程序如下：
x=100000; r=0.003; b=1000; n=0; while x(n+1)>0 n=n+1; x(n+1)=(1+r).*x(n)-b; end n
如果养老金想用到 80 岁，即 x240 =0，那么
x0
b 1 r

240
1
r 1 r
240
170908
.
如果取 r＝0.025，则 b 的临界值为 rx0 0.025 20 0.5 （万 元）. 进一步，可编程分别计算当 b=0.4、0.5、0.6、1 以及 2 万
元时账户总额 xk 的具体变化过程，并绘图. 程序：
r=0.025; x=[20,20,20,20,20]; b=[.4,.5,.6,1,2]; n=20; for k=1:n x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r)-b; end plot(0:n,x(:,1),'k.',0:n,x(:,2),'kx',... 0:n,x(:,3),'k^',0:n,x(:,4),'ks',0:n,x(:,5),'kp') axis([-1,n+1,0,25]) legend('每年用 0.4 万元','每年用 0.5 万元',... '每年用 0.6 万元','每年用 1 万元','每年用 2 万元',3) title('奖学金捐款账户余额的演变，年利率 2.5%') xlabel('第 k 年'), ylabel('账户余额（万元）')
绘得的图形：
奖 学 金 捐 款 账 户 余 额 的 演 变 ， 年 利 率 2.5% 25
20
账户余额（万元）
15
10 每 年 用 0.4万 元 每 年 用 0.5万 元 每 年 用 0.6万 元 每 年 用 1万 元 每 年 用 2万 元 0 2 4 6 8 10 第 k年 12 14 16 18 20
xk 0 ，可以解得只需要
k log b r log b r x0 log 1 r
所以令 K ，则 log b r log b r x0 log 1 r （上取整） 养老金在第 K 个月恰好用完. 把具体数据代入，执行以下程序， 算得 K=120，即 10 万养老金恰好 10 年用：
假设一到期就支取，取出 b 元作为当年的奖学金， 剩下的继续以 整存整取一年定期的形式存入银行……记捐款存入银行之后第
x0 =20 万元， k 年一年定期到期日奖学金捐款账户余额为 xk 万元，
则列式得
xk 1 (1 r ) xk b, k 0,1, 2, .
其解为
xk (1 r )k x0 b r b r , k 0,1, 2,
5
0
（略去给学院领导的报告，该报告要用非数学语言陈述上述分 析）
5. 有一位老人 60 岁时将养老金 10 万元以整存零取方式 （指本金一次存入，分次支取本金的一种储蓄）存入，从第一个 月开始每月支取 1000 元， 银行每月初按月利率 0.3%把上月结余
额孳生的利息自动存入养老金 . 请你计算老人多少岁时将把养 老金用完？如果想用到 80 岁，问 60 岁时应存入多少钱？ 解答 假设月利率保持不变，记为 r，记养老金存入银院捐献 20 万元设立优秀本科生奖学金， 学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行， 第二年一到期就支取， 取出一部分作为当年的奖学金， 剩下的继 续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题， 并向学院领导写一份报告. 解答 假设整存整取一年定期的年利率保持不变，记为 r，
平衡点为 x b r . 因为 r>0，所以如果 x0 b r ，即 0 b rx0 ， xk 就会单调增 加趋于无穷大，并且增加得越来越快；如果 x0 b r ，即 b rx0 ，
xk 就会单调衰减（到零为止） ，并且减少得越来越快；如果 x0 b r ，即 b rx0 ， xk 就会保持不变，即 xk x0 .
后第 k 月末账户总额为 xk 元， 从第一个月开始每月支取 b 元. 则 列式得
xk 1 (1 r ) xk b, k 0,1, 2, .
解得
xk (1 r )k x0 b r b r , k 0,1, 2,
依题意有 r=0.003，b=1000， x0 =100000. 因为 r>0，且 x0 b r ， 所以 xk 就会单调衰减（到零为止） ，并且减少得越来越快；若要