目录1.绪论 (3)1.1 电磁场理论概述 (3)1.2 有限元法概述 (3)1.2.1有限元的发展历史 (4)1.2.2有限元方法分析过程及其应用 (6)1.2.3 有限元方法的分析过程 (6)1.2.4 有限元方法的应用 (7)2 电磁场及有限单元法的理论基础 (9)2.1矢量及其代数运算 (9)2.1.1 矢量的基本概念 (9)2.1.2 矢量函数的代数运算规则 (11)2.2矢量函数和微分 (12)2.2.1矢量函数的偏导数 (13)2.2.2 梯度，散度和旋度的定义 (14)2.3 矢量微分算子 (15)2.3.1 微分算子∇的定义 (15)2.3.2 含有∇算子算式的定义和性质 (16)2.3.3 二重∇算子 (18)2.3.4 包含∇算子的恒等式 (19)2.4 矢量积分定理 (19)2.4.1高斯散度定理 (19)2.4.2 斯托克斯定理 (20)2.4.3 其他积分定理 (20)2.5 静电场中的基本定律 (20)2.5.1 库仑定律 (20)2.5.2电场强度E (22)2.5.3 高斯定律的积分和微分形式 (23)2.6 静电场的边界条件 (26)2.6.1电位移矢量的法向分量 (26)2.6.2电场强度的切向分量 (27)2.6.3 标量电位的边界条件 (29)2.7 泊松方程和拉普拉斯方程 (30)2.8 静电场的边值问题 (31)2.8.1边值问题的分类 (31)2.8.2 静电场中解的唯一性定理 (32)3.有限单元法 (34)3.1 泛函及泛函的变分 (34)3.2 与边值问题等价的变分问题 (35)3.2.1与二维边值问题等价的变分问题 (35)3.2.2平衡问题的变法表示法 (37)3.3 区域剖分和插值函数 (41)3.3.1定义域的剖分 (41)3.3.2 单元内局部坐标系中φ的近似表达式—插值函数 (45)3.4 单元分析 (48)3.5总体合成 (50)3.6 引入强加边界条件 (53)4.有限单元法的具体应用 (53)5.结束语 (64)参考文献 (65)致谢 (65)1.绪论1.1 电磁场理论概述自1873年J.C.Maxwell建立电磁场普遍运动规律并预言电磁波存在以来，电磁场理论及其应用受到了物理学研究者广泛而深入的研究，这些研究对20世纪物理学的几个重大理论体系（相对论理论），量子理论等）的建立起了重大的作用。

与此同时，电磁场和电磁波作为能量的一种存在形式，信息传输的重要载体和探求未知物质世界的重要手段，在通信，广播，电视，雷达，导航等等各个领域中得到广泛的应用，使得电磁场理论成为众多交叉学科领域及新技术领域的理论基础和重要的发源地，这极大的丰富和发展了电磁场理论，而在最近三十多年来，随着无线电电子学，计算机和网络技术的飞速发展，生物电磁学，环境电磁学和电磁兼容性等学科的建立，向电磁场理论提出了许多新的研究课题，使现代电磁场理论得到了飞速的发展，电磁学的理论研究成果不断的促进了其他学科的发展，而电磁理论主要研究场的问题，在研究这些之前，先定义矢量以及运算规则，研究电磁场的问题时也经常要用到数值计算方法和解析法，而有限元法就是经常用于解决电磁场问题的一种方法。

1.2 有限元法概述有限元方法（Finite Element Method）是力学，数学物理学，计算方法，计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物。

在人类研究自然界的三大科学研究方法（理论分析，科学试验，科学计算）中，对于大多数新型领域，由于科学理论和科学实践的局限性，科学计算成为一种最重要的研究手段。

在大多数工程研究领域，有限元方法是进行科学计算的重要方法之一；利用有限元方法几乎可以对任意复杂的工程结构进行分析，获取结构的各种机械性能信息，对工程结构进行评判，对工程事故进行分析。

有限元法在设计过程中有极为关键的作用。

人们对各种力学问题进行分析求解，其方法归结起来可以分为解析法（AnalyticalMethod）和数值法（Numeric Method）.如果给定一个问题，通过一定的推导可以用具体的表达式来获得问题的解答，这样的求解方法就称为解析法。

但是由于实际结构物的复杂性，除了少数极其简单的问题外，绝大多数科学研究和工程计算问题用解析法求解式极其困难的。

因此，数值法求解便成为了一种不可替代的广泛应用的方法，并取得了不断的发展，如有限元法，有限差分法，边界元方法等都是属于数值求解方法。

其中有限元法式20世纪中期伴随着计算机技术的发展而迅速发展起来的一种数值分析方法，它的数学逻辑严谨，物理概念清晰，应用非常广泛，能活灵活现处理和求解各种复杂的问题。

有限元方法采用矩阵式来表达基本公式，便于计算机编程，这些优点赋予了它强大的生命力。

有限元方法的实质是将复杂的连续体划分成为有限多个简单的单元体，化无限自由度问题为优先自由度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。

用有限元方法分析工程结构的问题时，将一个理想体离散化后，如何保证其数值的收敛性和稳定性是有限元理论讨论的主要内容之一，而数值解的收敛性与单元的划分及单元形状有关。

在求解过程中，通常以位移为基本变量，使用虚位移原理或最小是能原理来求解。

有限元方法的基本思想先化整为零，再积零为整，也就是把一个连续体认为分割成有限个单元；即把一个结构看成由若干通过结点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。

从数学的角度上看，有限元方法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组，然后利用计算机进行求解的方法。

由于有限元法采用了矩阵方法，因此借助计算机可以很方便的快速进行计算。

1.2.1有限元的发展历史有限元方法基本思想的提出，通常认为始于20世纪40年代。

其实早在公园3世纪的时候，我国数学家刘徽提出的用割圆法求园周长的方法就是有限元基本思想的体现。

经典结构力学求解钢架内力的位移法，将钢架看成是由有限个在结点处连接点杆接原件组成，先研究每个杆件单元，最后将其组合进行综合分析。

这种先离散，后整合的方法便是有限元方法的基本思想。

1941年，雷尼克夫（Hrenikoff）首次提出用框架方法求解力学问题，但这种方法仅限于用杆系结构来构造离散模型。

1943年，可兰特（Courant）发表了一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文，第一次假设扭曲函数在一个划分的三角形单元集合体的每个单元上为简单的线性函数。

这是第一次用有限元法处理连续体问题。

20世纪50年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的要求，这就需要更精确的设计和计算。

1955年，德国斯图加特大学的J.H.Argyris教授发表了一篇能量原理和矩阵分析的论文，第一次奠定了有限元的理论基础。

1956年，特纳（Turner）,克拉夫（Clough），马丁（Martin）和托普（Top）等将钢架分析中的位移法扩展到弹性力学平面问题，并用于飞机的结构分析和设计，系统研究了离散杆，梁，三角形的单元刚度表达式，并求得了平面应力问题的正面解答。

他们的研究工作开始了利用电子计算机求解复杂弹性问题的新阶段。

1960年，克拉夫（Clough）在处理剖面弹性问题时，第一次提出并使用“有限元方法”的名词，使人们进一步认识到这一方法的特性和功能。

此后，大量学者，专家开始使用这一离散方法来处理结构问题分析，流体分析，热传导和电磁学等复杂的问题。

从1963年到1964年，杯赛林（Besselin）等人的研究工作表明，有限元方法实际上是弹性力学变分原理中瑞类李资法的一种形式，从而在理论上为有限元法奠定了数学基础。

但是与变分原理相比，有限元法更为灵活，适应性更强，计算精度更高。

这一成果也大大刺激了变分原理的研究和发展，先后出现了一系列基于变分原理的新型有限元模型，如混元法，非协调元，广义协调元等。

1967年，Zienkiewicz和Cheung出版了第一本关于有限元分析的著作。

20世纪70年代后，随着计算机技术和软件技术的发展，有限元方法进入了发展的高速期。

在这一时期，人们对有限元方法进行了深入研究，涉及内容数序和力学领域所依据的理论，单元划分的原则，型函数的选取，数值计算方法及误差分析，收敛性和稳定性研究，计算机软件开发，非线性问题，大变形问题等。

1972年，Oden出版了第一本处理非线性连续体的著作。

在有限元方法发展的过程中，我过科技工作者也做出过杰出的贡献，并得到了国际学术界的认可，如胡长海提出了广义变分原理，钱长伟最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间的关系，冯康研究了有限元方法的精度和收敛性问题，钱令兮研究了余能原理等。

随着有限元方法的不断发展和完善，目前已经成为一门成熟的学科，并已经扩展到其他研究领域，成为了科技工作者解决实际问题的有力工具。

1.2.2有限元方法分析过程及其应用有限元方法从20世纪40年代开始至今，已经经过60多年的发展和创新，其应用领域不断扩大，已由最初的杆件问题扩展到弹性力学，粘弹性力学，塑力学问题，由平面问题扩展到空间问题，由静力学问题扩展到动力学稳定性分析问题，由线形问题到非线形问题，从固体力学到流体力学，空气动力学，热力学，电磁学等问题。

现在，有限元方法成为科技工作者进行科学研究，解决工程技术问题的强有力的工具。

有限元方法的特性(1)对于复杂几何形态构件的适应性。

由于有限元方法的单元划分在空间上可以是一维，二维，三维，并且可以有不同的形状，如二维单元可以是三角形，四边形，三维单元可以是四面体，五面体，六面体等，同时各种单元可以有不同的连接形式。

因此，实际应用中遇到的任何复杂结构或构造都可以离散为有限个单元组成的集合体。

(2)对各种构型问题都有可适应性。

有限元方法已经由最初的杆件问题扩展到弹性力学，粘弹性力学，塑力学问题，由平面问题扩展到空间问题，由静力学问题扩展到动力学稳定性分析问题，由线形问题到非线形问题，从固体力学到流体力学，空气动力学，热力学，电磁学等问题，总之可以解决好多很复杂的问题。

(3)理论基础的可靠性。

有限元方法的理论基础是变分原理，能量守恒原理，它们在数学上，物理上都得到了可靠的证明。

只要研究问题的数学模型建立适当，实现有限元方程的算法稳定收敛，则求得的解是真实可靠的。

(4)计算精度的可信性。

只要所研究问题本身是有解的，在相同条件下随着单元数目的增加，有限元方法的计算精度将不断提高，近似解不断趋近于精确解。

(5)计算的高效性。

由于有限元分析的各个步骤可用矩阵形式来表示，所以最终的求解就归结于标准的矩阵代数问题，将许多复杂的微分，偏微分方程的求解问题转化成求解代数方程组的问题，特别适合于计算机进行编程计算。

1.2.3 有限元方法的分析过程(1)结构物的离散化有限元方法的基础思想是化整为零，分散分析，再集零为整。