【2013年中考攻略】专题3：动态几何之定值问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。
一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ= 512（不需证明）． （2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】解：（2）图2中结论PR ＋PQ=125仍成立。
证明如下： 连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K 。
∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3，BC=4，∴2 2 22BD CD BC 345=+=+=。
∵S △BCD =12BC•CD=12BD•CK ，∴3×4=5CK ，∴CK=125。
∵S△BCE=12BE•CK，S△BEP=12PR•BE，S△BCP=12PQ•BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，∴12BE•CK=12PR•BE＋12PQ•BC。
又∵BE=BC，∴12CK=12PR＋12PQ。
∴CK=PR＋PQ。
又∵CK=125，∴PR＋PQ=125。
（3）图3中的结论是PR－PQ=125．【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。
【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。
（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。
连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=125。
例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线()22y x 4x 3x 21=-+=--，∴二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。
（2）①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A （1，0），B （3，0）两点。
②存在实数k ，使△ABP 为等边三角形．∵()22y kx 4kx 3k k x 2k =-+=--，∴顶点P （2，－k ）．∵A （1，0），B （3，0），∴AB=2要使△ABP 为等边三角形，必满足|－k|=3，∴k=±3。
③线段EF 的长度不会发生变化。
∵直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，∴kx 2﹣4kx+3k=8k ，∵k ≠0，∴x 2﹣4x+3=8。
解得：x 1=﹣1，x 2=5。
∴EF=x 2﹣x 1=6。
∴线段EF 的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。
【分析】（1）抛物线y=ax 2+bx+c 中：a 的值决定了抛物线的开口方向，a ＞0时，抛物线的开口向上；a ＜0时，抛物线的开口向下。
抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②当△ABP 为等边三角形时，P 点必为函数的顶点，首先表示出P 点纵坐标，3倍，由此确定k 的值。
③联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。
例3：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。
∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。
证明如下：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）。
∴AP=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。
∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
又∵EF 为折痕，∴EF ⊥BP 。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。
∴∠EFM=∠ABP 。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME ，∴△EFM ≌△BPA （ASA ）。
∴EM=AP=x ．∴在Rt △APE 中，（4﹣BE ）2+x 2=BE 2，即2x BE 2+8=。
∴2x CF BE EM 2+x 8=-=-。
又∵四边形PEFG 与四边形BEFC 全等， ∴()()22211x 11S BE CF BC=4+x 4=x 2x+8=x 2+622422⎛⎫=⋅+⋅⋅-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭。
∵1042<<，∴当x=2时，S 有最小值6。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH ，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得出答案。
（2）先由AAS 证明△ABP ≌△QBP ，从而由HL 得出△BCH ≌△BQH ，即可得CH=QH 。
因此，△PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM ≌△BPA ，从而利用在Rt △APE 中，（4﹣BE ）2+x 2=BE 2，利用二次函数的最值求出即可。
例4：（2012福建泉州12分）已知：A 、B 、C 不在同一直线上.（1）若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上，i ）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC 的度数和BC 的长度；ii ）如图二，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A= BC 2R； （2）.若定长线段．．．．BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN （B 、C 均与点A 不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP ⊥AM ，CP ⊥AN ，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P 、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.【答案】解：（1）i）∵∠A=45°，∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。
又∵R=1，∴由勾股定理可知BC=11=2+。
ii）证明：连接BO并延长，交圆于点E，连接EC。
可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°），且∠E=∠A（同弧所对的圆周角相等）。
故sin∠A=sin∠A=BC BC BE2R=。
（2）保持不变。
理由如下：如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK=12AP=AK=PK。
同理得：BK=AK=PK。
∴CK=BK=AK=PK。
∴点A、B、P、C都在⊙K上。
∴由（1）ii）sin∠A=BC2R可知sin60°=BCAP。
∴AP=BC43sin603=︒（为定值）。
【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。
【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sin∠A=sin∠E=BC BC BE2R=，得出即可。
（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin∠A=BC2R，得出AP=BC43sin603=︒（定值）即可。
例5：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线1l、2l．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON为直径的圆与直线1l相切；(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线2l的距离之和等于线段MN 的长．【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2＋bx＋c，则4a2b+c=04a+2b+c=0c=1-⎧⎪⎨⎪-⎩解得1a=4b=0c=1⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩。
∴抛物线对应二次函数的解析式所以21y=x14-。
（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为点M、N在抛物线上，∴22112211y=x1y=x144--，，∴x22=4(y2+1)。
又∵()()2222222222ON x y 4y 1y y 2=+=++=+，∴2ON y 2=+。