§3.1 轨道角动量及其表示
• 在角动量的经典定义
(1)
• 中代入算符 和 ，则得到角动量算符
(2)
1
§3.1 轨道角动量及其表示
•即
(3)
2
§3.1 轨道角动量及其表示
• 首先考虑到各个积的因子都是对易的厄米 算符 ， 也是厄米的.
• 这可用如下方法证明：为了考察厄米算符 的积 在什么条件下也是厄米的，我们 将其写成
• 角动量的平方是
(6)
• 它与角动量的所有分量都对易，即
(7)
6
球坐标中的角动量算符
• 由变换 • 及下列式子 • 故而，譬如
7
§3.1 轨道角动量及其表示
得到
(8)
以及
(9)
其中， 表示Laplace算符仅对角变量作用部分。8
• 考虑到 同本征矢
的共同本征函数
相互对易，我们可以得到它们的共
• 因此，对于本征值的限制就只能来自于边界条 件了：
• 若我们要求解对于旋转单值—就是说假设
Y()=Y()—则m就必须是一个整数了；
• 另外, 注意到方程(12)存在两个奇点和，
按照有关Legendre方程的标准理论，如果要求 解在奇点非奇异(nonsingular)，则参数
实际上，在角动量共同本征方程含 部分即(12)
中, 若令
x = cos
我们即可将其化为相应的缔合Legrendre方程. 如前所述，到目前为止，我们还未对 的取
值做任何假设； 若单纯从 和 的微分方程(11) 和(12)来考察，则对于参数 和的任何取值，
这两个方程都有解。
12
§3.1 轨道角动量及其表示
•
在这些假设下所生成的解就是众所周知
的球谐函数(spherical harmonics):
13
§3.1 轨道角动量及其表示
(16)
这里， 即为缔合Legendre 多项式。 球谐函数组成一正交基：
(17)
14
§3.1 轨道角动量及其表示
• 值得指出的是，单值性、非奇异性的假设在经典 场论(比如电磁场)中可直接验证，因为场是可观
察量；但在量子理论中，态函数 没有这样的直
接物理意义，因此这样的经典边界条件不能像经 典场论中般验证.
• 单值性要求– A在旋转2 时应不变； • 非奇异性要求– ||2因该可积.
15
• 这里关于
的值尚未作出任何假设. (10)
• 首先，由 的算符表示表示式中，则得
(11)
9
§3.1 轨道角动量及其表示
• 从而，我们看到在(10)中 和 的耦合得到了分(1离2) .
• 首先，由(11)容易得解的 部分为：
• 其次，方程(12)等价于缔合Legendre 方程，我们
(4)
3
§3.1 轨道角动量及其表示
•由
4
§3.1 轨道角动量及其表示
• 因为 • 所以
• 总是厄米的；又
• 只当它是零时
部分才是厄米的。
• 由于角动量算符各个因子相互对易，故知其为 厄米的。
5
§3.1 轨道角动量及其表示
• 另外，直接计算可知角动量分量的对易关系
(5)
• 或简略地记为
•
或
(5a)
将用
表示其解, 所以
• 所谓的Legendre 方程是指：
(13)
10
§3.1 轨道角动量及其表示
(14)
• 方程(14)的解为Legendre 多项式Pn(x). • 缔合Legrendre方程：
(15)
• 方程(15)的解是缔合Legendre 多项式
Pnm (x)
11
§3.1 轨道角动量及其表示