采用群论的记号，即
十、 CG系数与转动矩阵
由于
得两转动矩阵元的乘积与直积矩阵矩阵元的联系：
十一、球谐函数乘积的展开
利用CG系数所联系的转动矩阵及 知球谐函数乘积可以表示成球谐函数的线性叠加：
作业
第三章习题15、20
用球坐标：
r, ,
1 i
h
Lz
r, ,
r, , r, ,
即
r
Lz
ih
r
或
因而在坐标空间
Lz
i
与直接用Lz=xpy-ypx
结果相
同，只是这里强调的是Lz作为转动生成元的作用。
由
xyz
1 i x
h
Lx
x, y zx , z yx
利用球坐标可得
x Lx
i
sin
此外，
(m≥0)
四、球谐函数与转动矩阵
设
，
则
(包含任意l)
有：
因
lm zˆ Ylm zˆ Ylm 0, Yl0 0, mo
2l
4
1
Pl
cos
0
mo
2l
4
1
mo
即转动算符矩阵元
对m=0，
§3.8 角动量的加法
一、LS的叠加例子 对粒子的描述应同时考虑空间与内禀自由度。如自旋
§3.7 轨道角动量
忽略自旋角动量时，粒子的角动量J与轨道角动量 L=xxp相同。容易验证L满足角动量的基本对易关系:
将
1
i
L
z
1 i
xPy
yPx
作用于|x’y’z’>，有
正是绕z轴无穷小转动的结果。即若p是平移的生成元， 则L是转动的生成元。
一、坐标空间中的轨道角动量
对无自旋粒子的任意态|α>，其波函数为<x’y’z’|α>。 绕z轴转无穷小角δΦ后，其波函数为
二、球谐函数
无自旋粒子受球对称势作用，波动方程在球坐标下可 分离变量，能量本征函数可写为
n是径向量子数，l、m为轨道和磁量子数。由于球对
称，H与L2及Lz对易，能量本征态也可同时是L2和Lz
的本征态， L2的本征值为 l l 1 h2， Lz的本征值为
mh, m l, l 1,L l 1,l 角度部分对所有球对称问题都是共同的，应单独考虑:
可知只有m=m1+m2的CG系数才可能不为零
2) 由矢量叠加模型可知，只有满足 j1 j2 j j1 j2
的CG系数才可能不为零。
3) CG系数据约定取实数，故
<j1j2;m1m2|j1j2;jm>= <j1j2;jm|j1j2;m1m2>
4) 由于CG系数为两基组的变换矩阵，组成幺正矩阵,即 正交矩阵：
3）表象变换 由于对给定的j1,j2, m1和m2的完整组合是完备的，
有： 展开系数
称为Clebsch-Gordan系数
五、CG系数的基本特征
1) 由
j1 j2; m1m2 (J z J1z J2z ) j1 j2 jm 0
(m m1 m2 ) j1 j2; m1m2 j1 j2 jm
1/2粒子的基矢属于由位置本征矢展开的无穷维空间 和自旋本征矢构成的二维空间的直积
位置空间的算符与自旋空间的任意算符对易。
波函数
空间部分基矢可用|nlm>构成，对应L2和Lz的本征值分
别为 l l 1 h2和mh。自旋部分|±>对应的S2和Sz本
征值分别为 3h2/4和 h / 2
转动算符：
三、角动量叠加的形式理论
考虑两不同子空间的角动量算符J1和J2，其分量满足 各自的角动量对易关系
作用于子空间1和2的无穷小转动算符可写为
定义总角动量为 有限转角的形式：
，简记为
上述转动算符具有通常角动量作为转动生成元的形式。 易证：
因此，以前所述关于 J 2、J z , J 的特征与行为均成
l m 1/ 2
2l 1
八、自旋球谐函数
定义：
该函数是L2，S2，J2和Jz的本征函数 由L•S=(1/2)(J2-L2-S2),知自旋球谐函数也是L•S的本
征函数，本征值为：
九、角动量叠加与转动矩阵
考虑由角动量本征值为j1的本征矢为基的转动算符 D(j1)(R)和相应定义的D(j2)(R) ，其直积是可约的，在 合适基矢下有如下矩阵表示:
nˆ lm Ylm , Ylm nˆ
nˆ 是方向本征态矢。由此可称 Ylm , 是在由θΦ确
定的方向找到由l,m标记的态的几率振幅。
三、球谐函数的求解
由轨道角动量本征矢的相关关系，可写出对应的关于 球谐函数的关系。如
故 Ylm 依赖于Φ的部分应是exp(imΦ) (m必为整数)。
又由 知
类似地，
六、CG系数的递推关系
由于 可知
用<j1j2;m1m2|左乘上式,得CG系数的递推关系:
上式给出了不同CG系数间的关系。除符号约定外， 递推关系和归一化条件完全确定了CG系数
由递推关系联系的CG系数
七、CG系数关系的应用例子：轨道与自旋的叠加
j1=l, j2=S=1/2; j=l±1/2 (l>0)或 j=1/2(l=0). 讨论j=l+1/2情形。
立。
四、基函数
1）无耦合表象
J
2 1
,
J
2 2
,
J
1z
,
J
2
z
相互对易,取其共同本征态
|j1j2;m1m2>为基
2）耦合表象
J12
,
J
2 2
,
J
2
,
J
z
相互对易, 取其共同本征态
|j1j2;jm>为基(|jm>)
由于J2与J1z(J2z)不对易，|j1j2;m1m2>不是J2的本征矢， |jm>不是J1z(J2z)的本征矢。 |j1j2;m1m2>和|jm>各是一 组完备基,包含了最大相互对易算符组的集合。
c ot c os
x
类似可得
x Ly
i c
os
cotsin
x
x L
iei
i
cot
x
再由 得
L2
L2z
1 2
L L
LL
，
x L2
2
1 sin 2
2 2
1 sin s inx方括号中的微分算符与拉普拉斯算符在球坐标 表示的角度部分仅差一因子1/r2（即轨道角动 量与转动部分的动能相联系）。
由递推关系:
即
结合
得
耦合态的展开：
l l
1/ 2, m 1/ 2, m
m 1/ 2,1/ 2 m 1/ 2,1/ 2
cos sin
sin cos
m 1/ 2,1/ 2 m 1/ 2,1/ 2
选相位约定
l m 1/ 2
2l 1 l m 1/ 2
2l 1
l m 1/ 2
2l 1
二、SS的叠加例子
两自旋1/2粒子如两电子在不考虑轨道自由度时,总自 旋算符为S=S1+S2.
由
可导出 由此知相关算符的本征值：
两电子的任意自旋态可用 1)S1z和S2z 或 2)S2和Sz的本征矢展开：
1) |++>, |+->, |-+>, |-->;
2) 在2)中，前者为自旋三重态而后者为自旋单态。