第一章函数极限连续
一．求函数的定义域
具体函数求定义域的例子就不举了.
例1.设求
（1）的定义域；
（2）的定义域；
（3）的定义域。
解：（1）（2）（3）
练习．设的定义域为，求的定义域.
要牢记函数的两个要素：定义域和对应法则.
例2．判断下列两组函数是否是同一函数：
二．求函数的表达式
例3．设求.
解：此种题型的常规解法是设元法，即令反解得到再代入原
式，得，再将的记号全换为但此法只适用于简单函数，要学会直接凑成的方法.
因为,所以，
例4．设求
解：要做此题，要求大家熟记几个三角恒等式。
至少要记住两个倍角公式和三个“1”公式。
因为
所以，
例5．设求.
解：首先把作整体看待
三．关于函数的几种特性（重点是奇偶性的判别）
例6．设在上有定义，证明：
为偶；而为奇.
要记清两个知识点：（1）函数为奇或偶的必要条件是其定义域关于原点对称；如没有指明定义域，则默认为比如：就是非奇非偶函数；
（2）奇偶函数的图形特征.
结论：，即一个定义在对称区间上的函数必表为奇+偶的形式.
例7．设时，且在内为奇函数，求.解：由于在内为奇函数，
所以，，
又当时，
所以，
关于周期函数，请大家记住一个结论。
下面以例题的形式给出：
例8．设是定义在内的以为最小正周期的周期函数，证明：函数是以为最小正周期的周期函数.
证明：（一）首先证明是函数的周期.
事实上，设.(1)
因为
所以，是函数的周期.
（二）证明是函数的最小正周期.（反证法）
假设存在使得对于定义域中的任意有
（2）
则对于任意的实数有
这说明也是的周期，但，这与是的最小正周期相矛盾.
例9．的最小正周期为
由周期函数的定义，容易知道有下面的结论：
设分别是以为周期的函数，且为有理数，则
是以的最小公倍数为周期的函数.
例9．证明非周期函数.
证明：（反证）设是以为周期的函数.
则
即
上式中，分别令，得
，得到矛盾.
四．反函数
反函数也是个常常考察的知识点，一般是以填空题或单项选择题的形式命题.没必要举例，只提醒大家注意两点：反函数的定义域是原函数的值域；反函数的图形与原函数的图形关于直线对称.
五．复合函数
两种常见题型：一是将简单函数复合成一个复杂函数，这时要注意复合的条件是后面函数的值域与前面函数的定义域的交集非空；二是将复杂函数分解简单函数（大部分是基本初等函数).要求大家下去把书中第4—6页表中简单初等函数及其特性搞熟.
例10．下列函数是否可以复合？
（1）（可以）
（2）（不可以）
例11．将函数分解.
六．函数的极限（包括数列的极限）
数列的极限部分只要求：1.给出，能观察出是否存在？（精确的数学定义不作要求）；2.数列极限的三个性质（经常出判断题）；3.数列的四则运算法则.4.夹逼准则；5.单调有界原理.
记住几个常用的公式：
例11．求.
解：从表面上看，是两数列差的极限，但不能直接用四则运算法则.为什么？请一块说说使用数列求极限的四则运算时应注意的三个事项.
原式=
例12．求
例13．求
例14．
例15．求
解：此题宜用夹逼准则.
因为，且
故.
注意：夹逼准则的两大功能“夹”与“逼”,要通过放大或缩小不等式来实现.要拿捏适当很不容易.比如上题，如用
来夹逼就达不到目的了.
例16．求
解：因为，且
故.
注意：一般地，
下面举几个利用单调有界原理求极限的例子.
例17．证明数列有极限.
证明：记
（一）由均值不等式
对于任意的有
即，
故单增.
（二）不妨设此时，有
故，故有上界，因此数列有极限.
注意：今后记
例18．证明：数列收敛，其中
证明：（一）.，即有下界.
（二）.由
即单减.
所以，由原理知，收敛.
（三）.设，则因为
所以，两边取极限，有：
.
又由收敛数列的保号性知：.
下面讲函数的极限.第一个经常考的考点是函数极限存在的条件，即定理
例19．设求.
解：因为所以，不存在..
如把此题稍加变形，则结论变为.
注意：函数在点处有无极限，与其在点处有无定义无关.
例20．求（不存在，左极限-2，右极限2）.
例21．求（不存在，左极限0，右极限）.
请大家记住一个结论，以例题形式给出：
例22．设为常数，也可以为0），且则
证明：
例23．设求的值.
解：由于所以，（1）
故
所以，
例24．求.
例25．求.
书上有一个重要的结论要大家记住，也是一个考点，经常会以填空或选择的
形式出现.
例26．设，满足
（1）求的值.
下面举几个例子说明常见的函数求极限技巧.
例27．求；（比喻：以毒攻毒法）
例28．求；
例29．求；
例30．求
函数极限也有个夹逼准则.
例31．求
例32．
证明：因为为偶函数，故只须证明：.
事实上，不妨设，则.
两边同除以得：.
又因为.
所以，由由夹逼准则知，，
所以.
下面讲无穷小与无穷大（定义自己去看），注意：离开了具体的极限过程，就无法定义无穷小（大）.如，当时是无穷小；当时是无穷大.经常考的知识点是两个无穷小的比较（三种结果），这个知识点每年必考，下去自己看参考书.另一个需要掌握的知识点是无穷小与无穷大的关系定理.
例27．证明：
还有一个重要的结论：有界变量乘以无穷小量还是无穷小.如
这四个结论肯定都不能直接用商的极限法则来运算.
在所有极限结果中，有两种极限特别重要，称它们为两种重要极限，需要单独拿来讲.
第一种：
特点：（1）属于型；（2）
例：下列结论中哪些成立？
（1）（2）（3）
（4）
例28．；
例29．；
例30．；
例31．；
例32．；
例33．.
第二种：
或.
特点：（1）属于型；（2）
例33．；
例34．；
例35．设求常数（）
例36．；
例37．；
例38．.
大家注意到，刚才我们讨论两个重要极限时，大部分极限形式都是型，即求两个无穷小商的极限.事实上，微积分中值得关注的极限形式只有两种：型或型，其他类型都可一眼看出答案。
而型可以转化为型.因此，大家要高度
重视这种型的求极限技巧，其中最重要的有两个：一个利用是等价无穷小的替换；另一个是利用著名的洛必达法则.我们先讲等价无穷小的替换法.为此，先回顾以下结论.
定理：设是同一极限过程中（设为）的
四个无穷小，，且有存在（或为），则也存在（或为），并且=
.
今后作题时请大家记住下面八对常用的等价小)
（1）s i n x~x;(s i n m x~m x);（2）t a n x~x;(t a n m x~m x);
（3）a r c s i n x~x;（4）a r c t a n x~x;
（5）;（6）;
（7）1-c o s x~;（8）.
例39．求；
例40．求
例41．求
解法一：
解法二：
解法二是对的而解法一是错误的，为何？请大家自己思考：
.
练习：1.求2.求；3.求.
4.求
七．函数的连续性
首先要记住两个重要结论：
1．一切基本初等函数在其定义域内都是连续的；
2．一切初等函数在其定义区间（即包含在定义域内的区间）内都是连
续的.
一个最常见的考点是考察分段函数在其分段点处的连续性，这时要用到一个命题：在点处连续在点处既左连续又，右连续.
例42．设函数在内连续，求常数
解：分析：当时，为初等函数，则当时，
为连续函数；当时，为初等函数，则当时，为连续函数；当时，为初等函数，则当时，
为连续函数。
故要使得在内连续，只须保证在
及处也连续.
因为
故只有当，即时，在处也
连续.
又因为
故只有当，即时，在处也连
续.
关于复合函数的连续性，有下述命题：
定理：为复合函数，其中存在，且
也存在，则
上述定理为求函数极限时做变量替换提供了理论依据.
例如：
推论：为复合函数，其中且在处连续，则
，即
例43．求.
解：令。
因存在。
且函数在
处连续，故
当点非连续点时，往往是间断点。
关于间断点的分类是必考的考点.先一块回顾一下间断点及其分类标准。
例44．求函数的间断点，并指出其类型。
解：函数的定义域是.而在上是初等函数，所以连续.故函数的间断点是（第二类的无穷型间断点）；（第一类的可去型间断点）；（第二类的无穷型间断点）.
例45．函数的连续性.
在所有连续函数类中，闭区间上的连续函数是最重要的，因为它有几个良好的性质，如：最值定理；有界性；介值定理（其推论是零点定理或根值定理）.考得最多是零点定理.
例46．证明方程至少有一个小于1的正根。
证明：设，在上连续，又
由闭区间上连续函数的零点定理知，至少存在一点，使从而方程至少有一个小于1的正根.
思考题：1.证明方程在1与2之间至少有一个实根. 2．证明方程恰好有三个实根。
（提示：令.先证明在各区间内各有一个实根，说明方程至少有三个实根。
；再证明方程最多有三个实根，理由是为三次代数方程，至多只能有三个实根.。