第一章 函数、极限与连续(一)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛-25,31 B ．⎪⎭⎫⎝⎛-25,1 C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( ) A ．()2x x f =，()4xx g = B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g5．下列函数中为奇函数的是( ) A ．2sin xx y =B ．xxey 2-= C ．x xx sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+=6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( ) A ．()()21x f x f + B ．()21x x f + C ．()21x x f D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f 8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg -=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log2= D ．()2lg 1++=x y11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值 15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．2118．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零 19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。

20．已知函数()x f y =的定义域是[]1,0，则()2x f 的定义域是 。

21．若()xx f -=11，则()[]=x f f ，()[]{}=x f f f 。

22．函数1+=x e y 的反函数为 。

23．函数()x y πsin 5=的最小正周期=T 。

24．设211x x x f ++=⎪⎭⎫⎝⎛，则()=x f 。

25．()=--+∞→13limn nn x 。

26．=++++++++∞→n nn 31913112141211lim。

27．=+→x x x ln lim 0。

28．()()()=++-∞→503020152332limx x x x 。

29．函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-<=2,321,11,x x x x x x x f 的不连续点为 。

30．=∞→nn n x 3sin3lim 。

31．函数()112-=x x f 的连续区间是 。

32．设()()⎩⎨⎧<++≥+=0,0,2x x x b a x b ax x f ()0≠+b a ，()x f 处处连续的充要条件是=b。

33．若()⎩⎨⎧<-≥=0,10,1x x x f ，()x x g sin =，复合函数()[]x g f 的连续区间是 。

34．若01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+∞→b ax x x x ，a ，b 均为常数，则=a ，=b 。

35．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？(1)()221x x y -=，(2)323x x y -=，(3)2211xx y +-=，(4)()()11+-=x x x y(5)1cos sin ++=x x y ，(6)2xx aa y -+=36．若()tttt t f 552222+++=，证明()⎪⎭⎫ ⎝⎛=t f t f 1。

37．求下列函数的反函数(1)122+=x xy ， (2)11sin21+-+=x x y38．写出图1-1和图1-2所示函数的解析表达式39．设()()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤-<<∞-=x x x x xx f 0,10,sin 2，求()x f x 0lim →。

40．设3212222n nnx n -+++=，求n n x ∞→lim 。

41．若()21xx f =，求()()xx f x x f x ∆-∆+→∆0lim。

42．利用极限存在准则证明：11211lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 。

43．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型 (1)()21x xy +=，(2)221xx y -+=，(3)xx y =，(4)[]x y =44．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=21,11,2110,x x x x x f ，问： (1) ()x f x 1lim →存在吗？(2) ()x f 在1=x 处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。

45．设()⎩⎨⎧>+≤≤-=1,310,12x x x x x f ，(1)求出()x f 的定义域并作出图形。

(2)当21=x ，1，2时，()x f 连续吗？(3)写出()x f 的连续区间。

46．设()⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,4 20 ,42,0 ,2 2x x x x x x f ，求出()x f 的间断点，并指出是哪一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。

47．根据连续函数的性质，验证方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间。

48．验证方程12=⋅x x 至少有一个小于1的根。

(二)1．在函数()x f 的可去间断点0x 处，下面结论正确的是( ) A ．函数()x f 在0x 左、右极限至少有一个不存在B ．函数()x f 在0x 左、右极限存在，但不相等C ．函数()x f 在0x 左、右极限存在相等D ．函数()x f 在0x 左、右极限都不存在2．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,sin 31x x xx x f ，则点0是函数()x f 的( )A ．第一类不连续点B ．第二类不连续点C ．可去不连续点D ．连续点 3．若()0lim 0=→x f x ，则( )A ．当()x g 为任意函数时，有()()0lim 0=→x g x f x x 成立B ．仅当()0lim 0=→x g x x 时，才有()()0lim 0=→x g x f x x 成立C ．当()x g 为有界时，能使()()0lim 0=→x g x f x x 成立D ．仅当()x g 为常数时，才能使()()0lim 0=→x g x f x x 成立4．设()x f x x 0lim →及()x g x x 0lim →都不存在，则( )A ．()()[]x g x f x x +→0lim 及()()[]x g x f x x -→0lim 一定不存在B ．()()[]x g x f x x +→0lim 及()()[]x g x f x x -→0lim 一定都存在C ．()()[]x g x f x x +→0lim 及()()[]x g x f x x -→0lim 中恰有一个存在，而另一个不存在D ．()()[]x g x f x x +→0lim 及()()[]x g x f x x -→0lim 有可能存在5．xxx x sin 1sinlim2→的值为( )A ．1B ．∞C ．不存在D ．0 6．()()()=+--→211sinlim221x x x x ( ) A ．31 B ．31-C ．0D ．327．按给定的x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( )A ．142+-x x x(+∞→x ) B ．111-⎪⎭⎫⎝⎛+xx (∞→x ) C ．x --21 (0→x ) D ．xx sin (0→x )8．当0→x 时，下列与x 同阶(不等价)的无穷小量是( ) A ．x x -sin B ．()x -1ln C ．x x sin 2 D ．1-x e 9．设函数()x x g 21-=，()[]221xx x g f -=，则⎪⎭⎫⎝⎛21f 为( )A ．30B ．15C ．3D ．110．设函数()422+-=x x f (20≤≤x )的值域为E ，()1222++x x x g 的值域为F ，则有( )A ．F E ⊂B ．F E ⊃C ．F E =D ．Φ=FE 11．在下列函数中，()x f 与()x g 表示同一函数的是( ) A ．()1=x f ，()()01x x g -= B ．()x x f =，()xxx g 2=C ．()2x x f =，()x x g = D ．()33x x f =，()x x g =12．与函数()x x f 2=的图象完全相同的函数是( )A ．x e 2lnB ．()x 2arcsin sinC ．x e 2lnD ．()x 2sin arcsin 13．若1<x ，下列各式正确的是( ) A ．11>xB ．12<xC ．13<xD ．1<x14．若数列{}n x 有极限a ，则在a 的ε领域之外，数列中的点( ) A ．必不存在 B ．至多只有限多个C ．必定有无穷多个D ．可以有有限个，也可以有无限多个 15．任意给定0>M ，总存在0>X ，当X x -<时，()M x f -<，则( ) A ．()-∞=-∞→x f x lim B ．()-∞=∞→x f x limC ．()∞=-∞→x f x lim D ．()∞=+∞→x f x lim16．如果()x f x x +→0lim 与()x f x x -→0lim 存在，则( )A ．()x f x x 0lim →存在且()()00lim x f x f x x =→B ．()x f x x 0lim →存在，但不一定有()()00lim x f x f x x =→C ．()x f x x 0lim →不一定存在D ．()x f x x 0lim →一定不存在17．无穷多个无穷小量之和，则( ) A ．必是无穷小量 B ．必是无穷大量C ．必是有界量D ．是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量 18．()1ln arccos2-=x y ，则它的连续区间为( )A ．1>xB ．2>xC ．[][]1,22,1+-+-e eD ．()()1,22,1+-+-e e 19．设()nxnx x f n -=∞→13lim，则它的连续区间是( )A ．()+∞∞-,B ．nx 1≠(n 为正整数)处C ．()()+∞∞-,00,D ．0≠x 及 nx 1≠处20．设()⎩⎨⎧≥+<=0,0,x x a x e x f x 要使()x f 在0=x 处连续，则=a ( )A ．2B ．1C ．0D ．-1 21．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,3s in1x a x x x x f ，若()x f 在()+∞∞-,上是连续函数，则=a ( )A ．0B ．1C ．31 D ．322．点1=x 是函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<-=1,31,11,13x x x x x x f 的( ) A ．连续点 B ．第一类非可去间断点C ．可去间断点D ．第二类间断点 23．方程014=--x x 至少有一根的区间是( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛21,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,21C ．()3,2D ．()2,124．下列各式中的极限存在的是( )A ．x x sin lim ∞→ B ．x x e 10lim → C ．1352lim22-+∞→x x x x D ．121lim-→xx25．=→xx x sin lim( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在 26．=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n nn n 。