当a <0时，解为x
a
当a = 0, b > 0时无解；当a = 0, b < 0时，解为R. _
一元二次不等式：(如下表)其中a > 0, x i , X 2是一元二次方程 ax 2
+bx+c=0的两实根，且 x i <X 2(若a < 0,则先把它化正，之后跟
a >0的解法一样)
3.简单的一元高次不等式：可用区间法
(或称根轴法)求解，其步骤是：,,
①将f(x)的最高次项的系数化为正数；,,
丄!^ > 0或丄凶 > 0的形式，转化为整式不等式求解，即:
g(x) g(x)
然后用 二、疑难知识导析
1. 不等式解法的基本思路
解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解 变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化 为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式
解不等式的方法归纳
一、知识导学 , 儿一次不等式 1. 当a>0时，解为 ax>b ,
b
② 将f(x)分解为若干个一次因式的积；,,
③ 将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线; ④ 根据曲线显示出的
2.
f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集
4.分式不等式：先整理成 Hxl > 0
g(x)
f(x)
-g(x) > 0J
> 0
g(x)
f(x)
g(x) 0
或 f(x) g(x)>0
“根轴法” 或化为不等式组求解
的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元
一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形，
2.
不等式组的解集是本组各不等式解集的交集， 所以在解不等式组时,
等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴， 一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高， 几个区间误看成是两个或几个不等式的解集
.3.
泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集 不等式求解一注意分类.,
三、经典例题导讲
取值范围是
错解：由 I x — 1 |< 3得：一2< x < 4, J 又由(X + 2) (x + a)=0 得 x=— 2 或 x = — a,」
A 是
B 的充分不必要条件理
{ x| — 2< x < 4} { x| — 2 < X V — a }
—a>4故选D.」 错因：忽略了 a =— 4时，{ x| — 2< x < 4} = { x| — 2< x <— a }，此时A 是B 的充要条
件,
不是充分不必要条件.,_
正解：由 I x — 1 |< 3 得：一2< x < 4, _1 又由(X + 2) (x + a)=0 得 x= — 2 或 x = — a, j
A 是
B 的充分不必要条件川
{ x| — 2< X < 4}
{ x| — 2< x <— a } .
—a>4故选C.」
x
［例 3］已知 f(x) = a x + b ，若 3
f(1) 0, 3 f (2) 6,求 f (3)的范围.」
先要解出本组内各不 将本组内各不等式的解集在同 不要将一个不等式解集
的两个或
集合的思想和方法在解不等式问题中有广
.解不等式的另一个难点是含字母系数的
2
［例1］如果kx+2kx — (k+2)<0恒成立，则实数
—1 w k<0 C. — 1<k w 0 A. — K k w 0 B. 的取值范围是_ D. — 1<k<0,
错解：由题意:
k
(2k)2 4k ［ (k 2)］
解得：—1<k<0,
2
错因：将 kx +2kx — (k+2)<0 看成了- 正解：当k = 0时，原不等式等价于一
定是一元二次不等式，忽略了
k = 0的情况. 2 < 0，显然恒成立，
k = 0符合题意.,
k 0
当k 0时，由题意：
2
(2k)2 4k
［(k 2)］
解得：—1<k<0,
1 k 0 ,故选 c.j
［例 2］命题 A:|x 1 <3,命题 B:(x 2)(x
a) < 0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的
A. (4,
) B. 4, C. ( , 4)
D.
3 15 ③
错解：由条件得
2a
②X 2—①
①X 2—②得 ③+④得 10
3 3a 43 3 x
f (x) ax -，其值是
b
同时受a 和b 制约的.当a 取最大(小)值时，b 不一定取最大(小)值，因而整个解题思路 是错误的.,, 错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实: 作为满足条件的函数
正解: f(1)
由题意有
f ⑵
2a b ，
-! 2 解得: a 3[2f(2) 2 b -[2f(1) f(2)], 3
f(3)
f(1). 把f (1)和f(2)的范围代入得 ［例4］解不等式( x+2) 2
(X +3)(X —2) 0., 错解： (x+2) 2 0 原不等式可化为：(x+3)(x 原不等式的解集为｛ x| x 错因：忽视了“ —2) 0, —3 或 x 2 ｝ IJ —2) 0 ②，_
解①得：x= — 3或x =— 2或x = 2,
解②得：x < — 3或x > 2 原不等式的解集为｛ x| x —3或x 2或x
2 ［例5］解关于x 的不等式a(x ab) b(x ab)
解：将原不等式展开，整理得：
(a b)x ab(a
b h
讨论：当a b 时，x
ab(a a
b) b ,
当a b 时，若a b > 0时x
;若
a b <0 时 x
”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中 2
①或(x+2) (x+3)(x 正解：原不等式可化为：(x+2) 2(x+3)(x — 2) 0
当a b 时，x 灯
点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号
［例6］关于x 的不等式ax 2 bx c 0的解集为｛x | x
2或x
即：X 2 |x
点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健, 在解题中的简单应用.,
［例7］不等式log 2(x
6) 3的解集为
x
2^2或 x 0
反思：在数的比较大小过程中，要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相 同的部分，再去比较它们剩余部分，就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法:
(1)作差比较法和作商比较法，前者和零比较，后者和1比较大小；(2)找中间量，往往是1,在
这些数中，有的比1大，有的比1 小;，(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法，画出相 应的图形；(5)利用函数的单调性等等.， 四、典型习题导练.
求关于x 的不等式 ax 2 bx c 0的解集.，
解：由题设知 0, 且 x 2，x
-是方程
ax 2 bx c 0的两根II
从而
2
ax
bx 0可以变形为
解：••• log 2 (X 6)
1 -
2 x 1 -60 x
这也体现了方程思想 解得x
2^2, 3 2/2)
1
1.解不等式x ? 3x 2 0
x 2 2x 3
2x 2
2
4x 6x 3
7.解不等式J 3x 4 V x 3 0
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2.解不等式 x 3 3x 2 2x 6 I
3.解不等式 (x 2
4x 5)(x 2 x 2) 4.解不等式 (
X 2)2(x
1)3(x
1)(x 2) 0
5.解不等式 16 x 1
2kx 6.k 为何值时，下式恒成立:。