1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn nnnnn∈>⋅>++++- .例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a nn a n x f xx x x 给定求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。

例7 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈）例8 已知不等式21111[log ],,2232n n N n n *+++>∈>。

2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。

设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+<n n b ba n再如：设函数()x f x e x =-。

（Ⅰ）求函数()f x 最小值；（Ⅱ）求证：对于任意n N*∈，有1().1nn k k en e =<-∑ 例9 设n nna )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a3. 部分放缩例10 设++=a n a 21111,23aa a n++≥,求证：.2<n a 例11 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++n a a a ii .4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(8)32(++<n n n . 例13 设数列}{na 满足).,2,1(1,211 =+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15 数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n x a x x N n ∈． （I ） 证明：对2≥n总有a x n≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x6 . 换元放缩例16 求证).2,(1211≥∈-+<<*n N n n n n例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4)1(22->a n a n.7 转化为加强命题放缩例18 设10<<a ，定义a a a a a nn +=+=+1,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,212211nx x x x n n n +==+证明.10012001<x例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1•a 2•……a n <2•n ！8. 分项讨论例21 已知数列}{n a 的前n项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n（Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a . 9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，求证：10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x+-,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n a n ∈=<<-++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<; （3）判断n a 与1()n a n N *+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n n a x xx ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+．例25 已知函数f(x)=x 2-1(x>0)，设曲线y=f(x)在点（x n ,f(x n )）处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）(n ∈N *). (Ⅰ) 用x n 表示x n+1； （Ⅱ）求使不等式1n n x x +≤对一切正整数n 都成立的充要条件，并说明理由；（Ⅲ）若x 1=2，求证：.31211111121-≤++++++n n x x x例1 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例2 [简析]411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++•1(1)()(1)22f f n ⇒++>-⨯211(1)(1)2222n+-++-⨯⨯ 例3 简析 不等式左边123nnn n n C C C C ++++=12222112-++++=-n nn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>=212-⋅n n ，故原结论成立.例4 22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。

本题还可以推广为：若22212n p a a a +++=，22212(,0)n q p q x x x +++=>， 试求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。

请分析下述求法：因为22(,)2x y xy x y R +≤∈，所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++故n n x a x a x a +++ 2211的最大值为2p q +，且此时有(1,2,,)k k a x k n ==。

上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是(1,2,,)k k a x k n ==，即必须有2211nnk kk k a x===∑∑，即只有p=q 时才成立！那么，p q ≠呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：则有1122n nn n a x a x a x +++=于是，1122max ()n n a x a x a x pq +++=，当且仅当1,2,,).k n p q==结合其结构特征，还可构造向量求解：设1212(,,,),(,,,)n n m a a a n x x x ==，则由||||||m n m n ⋅≤立刻得解： 22222211221212||.n n nn a x a x a x a a a x x x pq +++≤++++++=且取“＝”的充要条件是：1212nnx x x a a a ==。

2．利用有用结论例5 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2-⋅+>-+k k (此处)得121,2-==k x n，=-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k 例 6 [简析] 高考标准用数学归纳法证明，；这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式∑∑∑===≤ni ini ini ii bab a 121221])([的简捷证法：而由Cauchy 不等式得2))1(1312111(x x x xn a n ⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅•++<)11(22 ])1(321[22222x x x x n a n ⋅+-++++ (0=x 时取等号)≤])1(321[2222x x x x n a n n ⋅+-++++• （10≤<a ），得证！例7 [解析] )(II 结合第)(I 问结论及所给题设条件ln(1)x x +<（0x >）的结构特征，可得放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(211211ln ln(1)ln 2n nn a a n n +≤++++n n n n a 211ln 2+++≤。