（1）已知 x 2
，求 ⎛ 1 - 1 ⎫⎪ ÷ ⎛ x + x ⎪ 的值。
1 - ⎪⎪ ÷ ∵ x
2 ∴ x 2 - 2 = 1 - 2
中考一轮复习之分式（二）
知识考点：
分式的化简求值方法灵活多样，它是分式中的重点内容，也是中
考的热点。
熟练掌握分式的计算，灵活运用整体代换、因式分解等方
法对分式进行适当的变形是解决此类题目的关键。
精典例题： 【例 1】
1 ⎫ =
x 2 - 2
1 - 2
⎝ 1 - x 1 + x ⎭ ⎝ x 2 - 1
⎭
（
2
） 当
x = 4 sin 30 0 - (- 1)0
、
y = tan 60 0
时 ， 求
⎛ 2 x ⎫ x 2 - 2 x y + y 2 x 2 + xy +
⎝ x + y ⎭
3x + 3 y x 2 - y 2 的值。
分析：分式的化简求值，应先分别把条件及所求式子化简，再把
化简后的条件代入化简后的式子求值。
略解：（1）原式＝ - 2
x 2
1 = x
2 - 2 1 - 2 x 2
∴1 - 2 = 1 - 2 ∴ - 2 = - 2
x 2
x 2
∴原式＝ - 2
（2）∵ x = 4 sin 30 0 - (- 1)0 = 1 ， y = tan 60 0 = 3
∴原式＝ x - y 2 = 1 - 3 = 3 + 1
x - y 1 - 3
【例 2】
∴ a 2
＝ a 2 + 1 ＝ ⎛ a + 1 ⎫⎪ - 2
＝ 32 - 2 ＝7
x b c
( )
⎧⎪ b - 3 (c - 2) ≠ 0
⎪⎩(2 - a )2 + 3 - b 2 + c 2 - 4 = 0
∴ 1 + 1 ＝
- a + b + c ，求 (a + b )(b + c )(c + a )
（1）已知 3x 2 + xy - 2 y 2 = 0（ x ≠0，y ≠0），求 x - y - x 2 + y 2 的值。
y x xy
（2）已知 a 2 - 3a + 1 = 0 ，求 a 2 的值。
a 4 + 1
分析：分式的化简求值，适当运用整体代换及因式分解可使问题
简化。
略解：（1）原式＝ - 2 y x
∵ 3x 2 + xy - 2 y 2 = 0
∴ (3x - 2 y )( + y ) = 0
∴ x = 2 y 或 x = - y
3
当 x = 2 y 时，原式＝－3；当 x = - y 时，原式＝2
3
（2）∵ a 2 - 3a + 1 = 0 ， a ≠0
∴ a + 1 = 3
a
2
a 4 + 1
a 2
⎝
a ⎭
探索与创新：
【问题一】已知 a 、 、 为实数，且满足 (2 - a )2 + 3 - b 2 + c 2 - 4
(b - 3)(c - 2)
= 0 ，
求 1 + 1 的值。
a - b b - c 解：由题设有 ⎨
c ＝－2
，可解得 a ＝2，b = - 3 ，
1 1 +
a -
b b - c
2 + 3
2 - 3
＝ 2 - 3 + 2 + 3 ＝4
【问题二】已知 a + b - c
a -
b + c
= =
c b c abc
∴ a + b b + c c + a ＝8 或－1
⎨ ⎨ ⎩ ⎩
a = A + x
的值。
解：设 a + b - c = a - b + c = - a + b + c = k
c b c
⎧a + b - c = ck ⎧a + b = (k + 1)c
∴ ⎪a - b + c = bk ，即 ⎪a + c = (k + 1)b ⎪- a + b + c = ak ⎪b + c = (k + 1)a
①＋②＋③整理得： (k - 1)( + b + c ) = 0
∴ k ＝1 或 a + b + c = 0
当 k ＝1 时，原式＝ (k + 1)3＝8；当 a + b + c = 0 时，原式＝－1
( )( )( ) abc
跟踪训练：
一、填空题：
1、已知 3a = 4b ，则 2a
2 - 3ab + b 2 ＝。
a 2 -
b 2
2、若 a + b = 7 ， ab = 12 ，则 a
2 + b 2 ＝。
ab
3、若 1 - 1 = 1 ，则 b + a ＝。
b a
a -
b a b
4、若 2 x +
1 B 恒成立，则 A ＋B ＝。
(x + 1)( + 2) x + 1 x + 2
5、若 x 2 - 5x + 1 = 0 ，则 x 2 + x + 1 + 1 ＝。
x 2
x
6、已知 a = b = c = k ，且 k ＜0，则直线 y = kx + k 与坐标轴围
b + c
a + c
a + b
成的三角形面积为。
二、选择题：
1、已知 x 、 y 满足等式 x = y - 1 ，则用 x 的代数式表示 y 得（
） y + 1
A 、 y = x - 1
B 、 y = 1 - x
C 、 y = 1 + x
x + 1
1 + x
1 - x
D 、
3、已知 x 2 - 5x - 1997 = 0 ，则代数式 x - 2
- x - 1 + 1 的值是（ ）
a 2 - 2ab + b 2 ⎪⎪ ÷ a 2 - b 2 ⎪⎪
⎫ ⎛ a ⎪
y = x + 1
x - 1
2、已知 4 x - 3 y - 6 z = 0 ， x + 2 y - 7 z = 0（ xyz ≠ 0 ）
，则 2 x 2 + 3 y 2 + 6 z 2 的值 x 2 + 5 y 2 + 7 z 2
为（
）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、
不能确定
( )3 ( )2 x - 2
A 、 1999
B 、 2000
C 、 2001
D 、2002
4、已知 x 是整数，且 2 + 2 + 2 x + 18 为整数，则所有符合条件的 x
x + 3 3 - x
x 2 - 9
的值的和为（
）
A 、 12
B 、 15
C 、 18
D 、20
三、先化简，再求值。
当
⎛ a ⎝ a - b
的值。
- a 2 + 4b 2 - 4a + 4b + 5 = 0 时 ， 求
a
2 a 2 ⎫
-
⎭ ⎝ a + b ⎭
四、已知 x + 3 =
x + 2
1
2 + 1
，求 x - 3 ÷ ⎛ 5 - x - 2 ⎫ 的值。
2 x - 4 ⎝ x - 2 ⎭
五、学校用一笔钱买奖品，若以一支钢笔和 2 本笔记本为一份奖品，
则可买 60 份奖品，若以一支钢笔和 3 本笔记本为一份奖品，则
可买 50 份奖品，问这笔钱全部用来买钢笔或笔记本，可买多少？
（
（七、已知x+1=3，求
2+1∴x+2=2+1，即1-1=2+1
六、先阅读下面一段文字，然后解答问题：
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。
现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m2-1)元，m为正整数，且m2-1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用(m2-1)元。
（1）设初三年级共有x名学生，则①x的取值范围是；②铅笔的零售价每支应为元；③批发价每支应为元。
用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少1元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值。
x2
x x4+x2+1
的值。
参考答案
一、填空题：
1、5；
2、25；
3、3；
4、2；
5、28；
6、1
7122
二、选择题：CBCA
三、解：由已知得：a=2，b=-1
2
∴原式＝a+b＝3
a-b5
四、解：原式＝-1
2(x+3)
∵x+3=
x+21
x+3x+3
∴-1=2
x+3
记本可买 60 x + 2 y = 300
本。
∴原式＝ 2
2
五、解：设钢笔 x 元／支，笔记本 y 元／本，则：
60(x + 2 y ) = 50(x + 3 y )
化简得： x = 3 y
∴这笔钱全部用于买钢笔可买
60(x + 2 y )
x
= 100 支；这笔钱全部用于买笔
( )
y
六、解：（1）①241≤ x ≤300；② m 2 - 1 ， m 2 - 1 ；
x x + 60
③初三年级共有 300 名学生， m ＝11。
七、解：由 x + 1 = 3 得： x 2 + 1 = 7
x
x 2
∴
x 2 x 4 + x 2 + 1 ＝ 1
x 2 + 1 + 1
x 2
＝ 1
8。