高一数学二次函数与一元二次方程教案
高邮市送桥中学
知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x 轴交点及一元二次方程的根。

（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。

能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。

情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入
等式2
0ax bx c ++=()0a ≠是关于x 的一元二次方程，关系式2
y ax bx c =++()0a ≠则
是关于自变量x 的二次函数。

今天我们将进一步研究它们之间的关系。

二、新授 观察思考：
1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如
①方程2230x x --=与函数2
23y x x =--；
②方程2
210x x -+=与函数2
21y x x =-+； ③方程2
230x x -+=与函数223y x x =-+。

研讨探究
问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x 轴交点坐标有什么关系 ？ 探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。

⑴以①为例（幻灯片）
结论：一元二次方程2230x x --=的判别式∆＞0 ⇔一元二次方程2
230x x --=有两个
不相等的实数根⇔对应的二次函数2
23y x x =--的图象与x 轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。

（2）再研究②③，能得类似的结论吗？
结论：一元二次方程2210x x -+=判别式∆=0一元二次方程2
210x x -+=⇔有两
等根⇔对应的二次函数2
21y x x =-+的图象与x 轴有唯一的交点为（1，0）。

一元二次方程判别式2230x x -+=∆﹤0 ⇔一元二次方程2
230x x -+= 方程无实数根⇔对应的二次函数2
23y x x =-+的图象与x 轴没有交点。

联想发散
2、一元二次方程2
0ax bx c ++=（a ＞0）根的个数及其判别式与二次函数
2y ax bx c =++（a ＞0）图象与x 轴的位置之间有什么联系？）
以a ＞0为例,如下表所示:
思考：当二次函数2
y ax bx c =++（a ﹤0）时，是否也有类似的结论呢？ 探究点二：函数的零点
一元二次方程2
0ax bx c ++=()0a ≠的的实数根就是二次函数c bx ax y ++=2
的值
为零时自变量的x 的值，也就是二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交点的横坐标，因此一元二次方程2
0ax bx c ++=()0a ≠的的实数根也称为二次函数
2y ax bx c =++()0a ≠的零点。

一般地，对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。

函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系：
函数()y f x =的零点⇔方程()0f x =实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴的交点横坐标。

探究点三：函数的零点的求解与判定
练习:说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的零点情况：
①方程2230x x --=与函数2
23y x x =--；
②方程2
210x x -+=与函数2
21y x x =-+； ③方程2
230x x -+=与函数322+-=x x y
注:(1)函数的零点是数，不是一个点。

（2）并不是所有函数都有零点。

例1、 求证：一元二次函数 7322
++=x x y 有两个零点 小结：函数零点的求解与判断
①（代数法）求方程 f(x)=0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并
利用函数的性质找出零点．
例2 如图（幻灯片）是一个二次函数()y f x =的图象。

⑴写出这个二次函数的零点； ⑵写出这个二次函数的解析式；
⑶试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系。

解：⑴由图象可知此函数的零点是：1x =–3，2x =1。

⑵由⑴可设()f x =(3)(1)a x x +- ∵(1)4f -=∴1a = ∴()(3)(1)f x x x =-+-。

即这个二次函数的解析式为2
()23f x x x =--+。

⑶∵(4)5,(1)4,(0)3,(2)5f f f f -=--===-， ∴(4)(1)20f f --=-﹤0，(0)(2)15f f =-﹤0。

设问1:已知二次函数f(x)的图象，判断f(-2)、f(0)、f(4)、f(6)与0的大小；如果
开口向下呢？
设问2:如果二次函数y ＝f(x)的零点是－1和5，如图3，试判断f(-2)f(0)、f(4)f(6)
与0的大小。

设问3:如果不知道二次函数y ＝f(x)的零点，但是有f(-2)f(0)<0、f(4)f(6)<0，我们可以
得出什么样的结论？你能否画出它的大致图像？根据图像你能够得到什么样的式子？（幻灯片）
结论：如果二次函数y=f(x)对于实数m,n,m<n,有f(m)·f(n)<0,则存在x 0∈ (m,n),使
得f(x 0)=0,即函数在区间(m,n)上有一个零点.
练习:二次函数2
()()f x ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：
不求a 、b 、c 的值，可以判断方程2
0ax bx c ++=的两根所在的区间是（）
()A ()3,1--和()1,1- ()B ()3,1--和()2,4 ()C ()1,1-和()1,2 ()D (),3-∞-和()4,+∞
三、课堂小结
◆函数零点与方程根的联系；
◆一元二次方程根的分布与函数图象之间的关系及处理方法； ◆本节课运用了哪些数学思想方法. 四、作业 课本 P81习题1、2。

备用：若方程2
210ax x --=在()0,1内恰有一解，则a 的取值范围是（B ）
()A a ﹤
1
- ()B a ﹥1 ()
C 1
-﹤a ﹤1 ()D 0≤a ＜1
解：设2
()21f x ax x =--
由题意得：(0)(1)f f ＜0 ∴(1)(211)a ---＜0解得a ﹥1 ∴选B。