0
∫
0
d ρ u dy + ( dx
2
δ
∫
0
ρu 2dy ) dx
经边界层外缘AC流入控制体的质量应等 于CD面上流出减AB面上流入
d ( dx
δ
∫ ρudy )dx
0
故由AC流入的动量流量为
d U( dx
δ
∫ ρudy )dx
0
规定流出为正，流入为负，控制体内流体 动量变化量为
d [ dx
δ
∫
0
N-S方程与连续性方程联立，四个方程
四个未知数u、v、w和p，方程为封闭的 方程组。 加上初始条件，边界条件，就可以 解该方程。 实际上N-S方程是非线性偏微分方程，很难 求解。它的解有以下几种处理方法：
精ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解：
N-S方程中的加速度对流项是非线性
项，这使得方程的求解非常困难。对于某 些简单的流动，非线性对流项消失，N-S 方程变为线性的方程，用解析的方法求出 其解，这类解称为精确解。 在文献中能查到的精确解至今为止 只有几十个，而且其中的大部分不能够直 接应用到实际问题中去。
§7-2 不可压粘性流体运动的
基本方程简介
将微元体所受的惯性力、质量力和 表面力代入牛顿第二定理 ΣF = ma 可得不可压粘流的运动微分方程：N-S方程
∂p ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ax = fx − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂x ∂x ∂y ∂z
ay
∂p ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v = fy − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂y ∂x ∂y ∂z
则
在2－2’截面上 ∂p =0 则 有
∂y
y
2’
p2 = p2
'
V2 = V∞
'
V∞
0
1’ 1 2
x
由于1’和2’同属边界层外边界上，可看成无 旋流，由势流的伯努利方程：
p1 V1 p2 V2 + = + ρg 2g ρg 2g
' ' ' '
而 即
V1 = V2 = V∞
' '
∴ p1' = p2' = p1 = p2
理想流体没有切向力，只有法向力 pii 实际流体既有法向力，也有切向力，如图， 由于应力的对称性，应力中只有6个分量 是独立的。它们是： 主应力： 切应力：
p xx
p yy
p zz
p xz = p zx
p xy = p yx p zy = p yz
对不可压流体，主应力可表示为： ∂u p xx = − p + 2µ ∂x ∂v p yy = − p + 2µ ∂y ∂w p zz = − p + 2µ ∂z 一般情况下，三个法向应力不相等， 其关系是： 1 − p = ( p xx + p yy + p zz ) 3
d 2 ρu dy ) −U dx
δ
∫ ρudy ]dx
0
再讨论受力情况
AB面上受力： CD面上受力： AC面上受力：
pδ
dp −( p + dx )(δ + d δ ) dx
由于AC处于边界层外 边界上，可看成理想流体，粘性切应力 可忽略，只有受压力
dp dx (p + )AC sin α = pd δ dx 2
这说明粘性流体中三个互相垂直的法向应 力的平均值的负值等于该点的动压强。 对理想流体：
−p = pxx = pyy = pzz
p xy = p yx
∂v ∂u = µ( + ) ∂x ∂y ∂w ∂v = µ( + ) ∂y ∂z ∂u ∂w = µ( + ) ∂z ∂x
切应力可 表示为：
p yz = p zy p zx = p xz
2）
边界层的内外边界是没有 明显的分界线， 一般在实际应用中，把边界层厚度规定为： 当物面法向速度达到 0.99V∞ 时的法向距 离定义为边界层厚度，用δ来表示。 流体在前驻点处速度为零，δ＝0，沿流动 δ 0 方向δ增加。附面层外边界线与流线不重合， 流线可深入到边界层内。 边界层具有以下特点：
二、排移厚度 δ *、动量损失厚度 δ ** 定义：
δ
*
u = ∫ (1 − ) dy U 0
δ
排移厚度
边界层内的速度为 u(x ,y ) ，外部势流的速度 为 U (x ) 。对于平板 U (x ) ≐ V ∞
由于流速受到壁面的阻滞而降低，使得 边界层内通过的流量与理想流体时通过的流 量减少，相当于边界层的固体边界向流动内 区域移动了δ * 。 由 δ * = (1 − u ) dy ∫
∫
0
d ρ u dy ) −U dx
2
第七章
不可压缩粘性流体的流动
§1 §2 §4 §5 §6 §7 §8 §9
粘性流体中的应力 不可压缩粘性流体运动的基本方程 边界层的概念 边界层微分方程 边界层动量积分式 平板边界层的近似计算 曲面边界层的流动分离 绕流物体的阻力
§1 粘性流体中的应力（简介）
p 应力的表示法： ij
第一个下标表 示应力作用面的 法线方向；第二 个下标表示应力 作用方向。
壁面BD上的受力： −τ 0dx
x方向总的受力为：
dδ dp p δ − (p δ + p dx + δ dx ) − τ 0dx + pd δ dx dx dp dx = (− δ − τ0 ) dx
由动量方程
ΣFx = ρQ( 2x − V1x ) 有 V
δ
dp (− δ − τ 0 ) =[ d dx dx dx
近似解： 小雷诺数Re情况，此时粘性力较惯性 力大得多。可以全部或部分地忽略惯性力 得到简化的线性方程。 大雷诺数Re情况，若将粘性力全部略 去，只在贴近物面很薄的一层“边界层” 中考虑粘性的影响，且根据问题的特点， 略去粘性力中的某些项，从而得到简化的 边界层方程（仍是非线性的）。
对于中等雷诺数Re的情况， 惯性力和粘性力都必须保留，此 时只能通过其它途径简化问题， 或者利用数值计算方法求N-S方 程的数值解。
ε
ε
ε
连续性方程 分析各量纲略 去小量得：
∂u ′ VL ∂v ′ +( ) = 0 ∂x ′ U δ ∂y ′
1 1×1
∂u ∂u ∂p ∂ 2u u +v = − +ν ∂x ∂y ρ∂x ∂y 2 ∂p = 0 ∂y ∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y
第二个方程得到重要得结论： 边界层的压强沿y方向是不变的 由伯努利方程得
δ
ρU δ 为理想流体和实际流体通过同一面积 的质量流量的差 ，图中面积abca，也可看 成以速度U通过面积 δ * ×1 时的质量流量。
*
定义：
δ
**
u u = ∫ (1 − ) dy U U 0
δ
称为动量损失厚度。 物理意义： 边界层内流速的降低不仅使通过的流体 质量减少，而且也使通过的流体的动量减少。 两者相差相当于将固体壁面向流动内部移动 一个的δ ** 距离。
dU − = U ρ dx dx
1 dp
边界层微分方程组可改写为：
∂u ∂u dU ∂ 2u u +v = U +ν dx ∂x ∂y ∂y 2 ∂p = 0 ∂y ∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y
边界条件为
y = 0 u =v = 0
u = U(x) y = δ(或∞)
简化的边界层微分方程仍是非线性的，在 个别情况可用相似性法求解，一般情况要 用级数展开法和数值计算法。 工程上大量应用一种近似解的方法即边 界层动量积分式。
∂p ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w az = fz − + µ( 2 + + ) 2 2 ρ∂z ∂x ∂y ∂z
DV 1 矢量表达： = f − ∇ p + ν ∇ 2V ρ Dt
此式称为N—S方程 将加速度展开有:
∂u ∂u ∂u ∂u ∂p ∂2u ∂2u ∂2u +u +v +w = fx − + µ( 2 + 2 + 2 ) ρ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ∂v ∂p ∂2v ∂2v ∂2v +u +v +w = fy − + µ( 2 + 2 + 2 ) ρ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂w ∂w ∂w ∂w ∂p ∂2w ∂2w ∂2w +u +v +w = fz − + µ( 2 + 2 + 2 ) ρ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
§7-6 边界层动量积分关系式
取一控制体，其边界由壁面、边界层 外缘和相距为dx的两个横截面构成。
讨论控制体内质量和动量的变化 经AB流入的质量和动量：
δ
∫
0
ρudy
δ
∫
0
ρu 2dy
经CD流出的质量和动量
∫
δ
0
du ρ(u + dx ) = dy dx
δ
δ
∫
0
d ρudy + ( dx
δ
∫ ρudy )dx
引入特征量:将N-S方程中的各物理量无 量纲化。
x y u v p x ′ = ,y ′ = ,u ′ = ,v ′ = , p ′ = L δ U V P 这些无量纲化的物理量与1具有相同的量级
N-S方程的无量纲化
∂u ′ VL ∂u ′ P ∂p ′ ν ∂ 2u ′ L 2 ∂ 2u ′ u′ +( ) ′ v = −( 2 ) + [ 2 +( ) ] 2 ∂x ′ ∂y ′ δ ∂y ′ Uδ ρU ∂x ′ UL ∂x ′ 1 2 ×1 1 1 1 ε 1×1 ε ×1 ε