精品文档不定积分（Ａ）
１、求下列不定积分dxdx??2xx2x２）１）
?dx2?dx)(x?22x1?４）３）
2x
??dxdx x223xsincosx５）６）xx2?5?2?3x2cos
13x??dxxx(2e?)dx(1?)2xx８）７）
２、求下列不定积分（第一换元法）dx?3?dx)(3?2x3x32?２）１）dx tsin??dt)xlnxln(lnx t４）３）dxdx??x?x xsincosxe?e６）５）
?dx2?dx)xcos(x4x1?８）７）
3x3
x1?xsin?dx?dx2x49?3xcos）10９）
dx?3?dxxcos21?2x12）11 ）
3??xdxxsin2xcos3xdxtansec14) 13)
??dxdx222x9?x?4sin3cosx16) 15)
3x1
??dxdx)x?(x12x?117) 18)
x2arccos arctanx10
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精品文档3、求下列不定积分（第二换元法）1?dx?dxxsin2xx?1２）１）
?)0(a?dx,?dx22x?a x４）３）
2x24x?
dx dx??32)1(x?x21?６）５）
dxdx??22?1?x1?x1?x７）８）
４、求下列不定积分（分部积分法）
??xdxarcsinxsinxdx１）２）
x x?2?dxsine2?xdxxln2４）３）
?dxxcos2?xdxln2８）７）22??xdxxxcosarctanxdx６）５）x22
５、求下列不定积分（有理函数积分）3x?dx3x?１）
3x?2?dx210??3xx２）
dx?2)?x(x1 3 ）
（Ｂ）
2)3e,(、一曲线通过点，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的1 方程。
13?2)(xFx1?1x?2的导函数为2、已知一个函数，且当，试求此函数。
时函数值为
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精品文档?cx)?f(x)dx?F(，则3、证明：若1?)?0?F(axb)?c,(af(ax?b)dx?a。
xsin??dxx(xf)
)(xfx。
4、设，求的一个原函数为5、求下列不定积分x2?dxcos?dxxsin21?2２）１）
1arctanx1?x?dxx?dxx?12x1?３）４）
dxx??dxx2222)?ax)(b(x?x?2a６）５）xarctan xe?dx lnx
?3dx2)?x(12x1x?ln）8 7）
?dx?x x2sin?xsin(2)1e?2) １）（Ｃ）求以下积分x xe dx
?dx?dx341x?x2e４）３）
5x x earctan
??dxdx8xxsincos?1?x５）６）
5x?xxxsincos
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精品文档不定积分第四章
答案习题
（Ａ）321?cx??c??23x（２）１、（１）
123c?4x?2xx?cx?x?arctan3（４）（３）2x)5(3c?2x?
c?(cotx?tanx)?3ln2?ln（６）（５）
2)?7x4(c?x c?3?ln2ex4x7（７）（８）
2114cx2?3)??(c?x?2?)(3328（２）２、（１）
clnlnx?ln c?t?2cos（４）（３）
cx?lntan x c?arctane（６）（５）
3142cx??xsin()?cln1?42（８）7（）
1x1122cxarcsin??9?c?42423cosx2(10) ）
（9121x?3xsincln?c?sinx?12x22?3(11) (12)1113cx?seccsecx?cosxcos5?x?
3210(14) (13)
2191carctan?22cx?ln(?)x9?33222 (16) (15)
xarccos210c??2c(arctan?x)102ln(17) (18)
ct?cot?tcscln cxcosx2?(?)xsin?（(1)、3 ）2 精品文档．
精品文档22x?4c?arccos)?2(tan x2）（32xxa22c)?x?(arcsin?a22aa (4)xc?2c?ln(1?2x)2x?x1?(6) (5)
x1carcsinx??2c)?1?x(arcsinx?lnx?2x?1?12 (7)(8)
2cx?arcsinx?1?xcx?xcosx?sin?(2) 4、(1)
x2x11x?233c)?(cosx?x??c?e4sinxln173229(4) (3)
111232c?x?xxarctan?x)?ln(1366 (5)2c2sinx?x?2xcosx?xsin (6)2cx??2xlnx?2xlnx7）（1123csinx?xsin?xcosx?x?x26 (8)
3123c?27lnx?3x?x?9x?clnx?5?lnx?2?23(2)(1)5、
12c?1lnx?ln(x)?2(3)
1112carctanxx??1)??lnxlnx?1?ln(224 (4)
21x??1321xc??ln?arctan223x?x?13 (5)
(B)
11??cy?ln?xdx?2(e,3))(fx?yxx，点设曲线，由导数的几何意义：代入即可。
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?C?)dx?arcsinxf(xF()?x2。
，精品文档1???)f(xF)(x2)Fx(x1?，得设函数为，由3?)(1,
代入即可解出C??)axf(?b?F(ax?b)?)F(x?f(x),，故由假设得
11???cb)?)dx?F(ax?F?(ax?b),??f(axb)[F(ax?b]aa。
?)f(x４、把凑微分后用分部积分法。
x?cos1x2?cos22５、（１）用倍角公式：0x??0cosx?sincosx?sinx或两种情况。
（２）注意11)x?d(arccotarcarctan?cotx,dx?2xx?1。
（３）利用（４）先分
子有理化，在分开作三角代换。
（５）化为部分分式之和后积分。
2t?2asinx（６）可令。
22t)cos?x?(b?ab(x?a?b?a)sint,则（７）可令。
tlnx?1?（８）令。
（９）分部积分后移项，整理。
xarctan e（１０）凑后分部积分，再移项，整理。
xt?tan2（１１）令。
dx?x?3x?34t?)?2?(xx?2x?2后，令，（１２）变形为
11dx?2tdt21??t2(x?2)x?2再由，两端微分得。
（Ｃ）
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精品文档u22du),dx?u?x?ln(1x1?eu?2u?1解：令），则
12u422??du??u)ln(1?u)du?2uln(1?22u1?所以原式2c?4arctanu)?2uln(1?u?4u?
xxx c???4arctanexe?1?4e1?1?2
??????
）解：方法一：2xx)(tan)dd(11dx22
xxxx2sinx(1?4cosx)432costansincos2222原式x2tan?1 x1x11x22??c)??tanlntand(tan?x224248tan2
x?ttan2方法二：令sinxdx?2x)(1?cos(1?cosx)2cosx?u，然后令方法三：变形为再化成部分分式积分。
1x?2x?)de(??earctan2 3）解：原式x)ed(1xx?2?]n?ctaea??[er x2x22)ee(1? 1du?2xx?][earctane???222)?uu(1x u?e）（令
1dudu?2xx??][??earctane??222u1?u
1??xxxx?2?c?e??arctanee?arctan?e2
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???)])?xd)?[(d(x?(dx333334441x??1?1xx 4）解：原式131?
33111x?1x333
3333??)]x1??1)?[(xd?1)d(x(?1)?(x443
374433c1)?(x???(x1?)44921
???dx?2?22?4422)?(x?xx?x2?2x?xu?）解：2?2?3)x?d1(xx?x
原式5，令
2u?1du1?c???ln222u?22u?4
2411x??2xc?ln?241242x?x?
11?2sinxcosx?1?dx?x?2cossinx 6）解：原式
??dxdx??xcos2sinx?2sinx?cosx 21?cosx)11(sinx
?)(x?d114???cosx?)(sinx?222)x?sin(4
?)?dcos(x114??)?cosxx(sin??2222)?(xcos1?4
?1111?)?(sinxd]cos(x??x?cos)[?
??4224)?cos(1?x)x?cos(1?44
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精品文档?)?x1?cos(114c?xcos)ln??(sin?x?224)x?1cos(?4
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