北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。

卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1. 设i 为虚数单位，则31t＝（ ） A. iB. －iC. 1D. －12. 函数x xe y =的导函数y '＝（ ） A. xxeB. xeC. xe +1D. x e x )1(+3.⎰+1)2(dx x ex等于（ ）A. 1B. 1-eC. eD. 1+e4. 在复平面内，复数iiz -=1（i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 函数x x x f ln 3)(+=的单调递增区间为（ ） A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0B. ),(+∞eC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1eD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,16. 由直线0,3,3==-=y x x ππ与曲线x y cos =所围成的封闭图形的面积为（ ）A.21B. 1C.23 D.37. 函数)(x f 是定义在),(+∞-∞内的可导函数，且满足：0)()(>>'x f x f x ，对于任意的正实数b a ,，若b a >，则必有（ ）A. )()(a bf b af >B. )()(b af a bf >C. )()(b bf a af <D. )()(b bf a af >8. 函数nmx ax x f )1()(-=在区间]1,0[上的图象如图所示，则n m ,的可能值是（ ）A. 1,1==n mB. 2,1==n mC. 1,2==n mD. 1,3==n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 的值为____________。

10. 已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则=+2)(bi a ____________。

11. 设函数xbax x f -=)(，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为01247=--y x ，则函数)(x f y =的解析式是__________。

12. 函数x x x f cos 2)(+=在]2,0[π上的极大值点为____________。

13. 曲线)430)(4sin(ππ≤≤-=x x y 与坐标轴围成的面积是____________。

14. 函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对R x ∈∀有2)()(x x f x f =+-，且在),0(+∞上，x x f >')(，若a a f a f 22)()2(-≥--，则实数a 的取值范围为____________。

三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。

15. 已知函数x x x f ln )(=。

（1）求函数)(x f 的极值点；（2）若直线l 过点)1,0(-，并且与曲线)(x f y =相切，求直线l 的方程。

16. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式2)6(103-+-=x x ay ，其中63<<x ，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

17. 设函数R a x e x f ax∈+=,1)(2。

（1）当53=a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）设)(x g 为)(x f 的导函数，当]2,1[e ex ∈时，函数)(x f 的图象总在)(x g 的图象的上方，求a 的取值范围。

卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

1. 函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ，若有)()(b g a f =，则b 的取值范围为（ ）A. ]22,22[+-B. )22,22(+-C. ]3,1[D. )3,1(2. 某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：3)10110()(t H t V -=（H 为常数），其图象如图所示。

记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为)/(3h m v ，那么瞬时融化速度等于)/(3h m v 的时刻是图中的（ ）A. 1tB. 2tC. 3tD. 4t3. 已知)(),(x g x f 均是定义在R 上的函数，)()()()(,0)(x g x f x g x f x g '<'≠，=)(x f25)1()1()1()1()01()(=--+>≠⋅g f g f a a x g x ，在有穷数列)10,2,1()()( =⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n g n f 中，任取正整数)101(≤≤k k ，则前k 项和大于1615的概率是（ ） A. 51 B.52C.53 D.54二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

4. 已知复数i z i z i z 23,1,21321-=-=+-=，它们所对应的点分别为C B A ,,。

若y x +=，则y x +的值是_________。

5. 如图，1±=x 是函数d cx bx ax x f +++=23)(的两个极值点，)(x f '为函数)(x f 的导函数，则不等式0)(>'⋅x f x 的解集为______________。

6. 当0>x 时，不等式1ln 1ln +≤+x kxx x 都成立，则实数k 的取值范围是___________。

三、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。

7. 已知函数x e x f =)(，点)0,(a A 为一定点，直线)(a t t x ≠=分别与函数)(x f 的图象和x 轴交于点N M ,，记△AMN 的面积为)(t S 。

（1）当0=a 时，求函数)(t S 的单调区间；（2）当2>a 时，若]2,0[0∈∃t ，使得e t S ≥)(0，求实数a 的取值范围。

8. 已知函数1ln )(),(,)(-=∈=x x g R a ax x f 。

（1）若函数x x f xx g x h 2)(21)()(--+=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当0>a 时，试讨论)(x f 与)(x h 这两个函数图象的交点个数。

【试题答案】卷（Ⅰ）1-8 ADCCCDBB 9. 210. i 43+11. xx x f 3)(-= 126π 13. 222-14. ]1,(-∞15. 解（1）0,1ln )(>+='x x x f ， 由0)(='x f 得e x 1=， 所以，)(x f 在区间)1,0(e上单调递减，在区间),1(+∞e上单调递增， 所以，ex 1=是函数)(x f 的极小值点，极大值点不存在。

（2）设切点坐标为),(00y x ，则000ln x x y =， 切线的斜率为1ln 0+x ， 所以，00011ln x y x +=+， 解得0,100==y x ，所以直线l 的方程为01=--y x 。

16. 解：（Ⅰ）因为5=x 时11=y ，所以211102=⇒=+a a； （Ⅱ）由（Ⅰ）知该商品每日的销售量2)6(1032-+-=x x y ，所以商场每日销售该商品所获得的利润；63,)6)(3(102])6(1032)[3()(22<<--+=-+--=x x x x x x x f ； )6)(4(30)]6)(3(2)6[(10)(2--=--+-='x x x x x x f ，令0)(='x f 得4=x函数)(x f 在)4,3(上递增，在)6,4(上递减，所以当4=x 时函数)(x f 取得最大值)4(f ＝42答：当销售价格4=x 时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42。

17. 解：（Ⅰ）当53=a 时，22253)1(5)3103()(++-='x x x e x f x。

由0)(>'x f 得031032>+-x x ，解得31<x 或3>x ； 由0)(<'x f 得031032<+-x x ，解得331<<x ， 所以函数)(x f 的单调增区间为),3(),31,(+∞-∞，单调减区间为)3,31(。

（Ⅱ）因为222)1()2()()(++-='=x a x ax e x f x g ax ， 又因为函数)(x f 的图象总在)(x g 的图象的上方，所以)()(x g x f >，即2222)1()2(1++->+x a x ax e x e ax ax 在]2,1[e e x ∈恒成立。

又因为012>+x e ax，所以)1(2)1(22+<-+x x x a ，所以x x a 2)1)(1(2<+-， 又012>+x ，所以1212+<-x xa ， 设12)(2+=x x x h ，则])2,1[()(1mine e x x h a ∈<-即可， 又222)1()1(2)(+-='x x x h ，由0)1()1(2)(222>+-='x x x h ，注意到]2,1[e e x ∈，解得11<≤x e ； 由0)1()1(2)(222<+-='x x x h ，注意到]2,1[e e x ∈，解得e x 21≤<， 所以)(x h 在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,1e 单调递增，在区间]2,1(e 单调递减， 所以)(x h 的最小值为)1(eh 或)2(e h ， 因为144)2(,12)1(22+=+=e e e h e e e h ，作差可知1214422+<+e ee e ， 所以14412+<-e ea ，所以a 的取值范围是)14144,(22+++-∞e e e 。

卷（Ⅱ）1. B2. C3. C4. 55. )1,0()1,( --∞6. 2≥k7. 解：（Ⅰ）因为e a t t S '-=||21)(，其中a t ≠ 当0=a ，e t t S '=||21)(，其中0≠t 当0>t 时，e t t S e t t S '+=''=)1(21)(,21)(， 所以0)(>'t S ，所以)(t S 在),0(+∞上递增， 当0<t 时，e t t S e t t S '+-=''-=)1(21)(,21)(， 令0)1(21)(>'+-='e t t S ，解得1-<t ，所以)(t S 在)1,(--∞上递增 令0)1(21)(<'+-='e t t S ，解得1->t ，所以)(t S 在)0,1(-上递减 综上，)(t S 的单调递增区间为)1,(),,0(--∞+∞ （Ⅱ）因为e a t t S '-=||21)(，其中a t ≠ 当2>a ，]2,0[∈t 时，e t a t S '-=)(21)( 因为]2,0[0∈∃t ，使得e t S ≥)(0，所以)(t S 在]2,0[上的最大值一定大于等于ee a t t S '---=')]1([21)(，令0)(='t S ，得1-=a t当21≥-a 时，即3≥a 时0)]1([21)(>'---='e a t t S 对)2,0(∈t 成立，)(t S 单调递增所以当2=t 时，)(t S 取得最大值2)2(21)2(e a S -= 令e e a ≥-2)2(21，解得22+≥ea ， 所以3≥a当21<-a 时，即3<a 时0)]1([21)(>'---='e a t t S 对)1,0(-∈a t 成立，)(t S 单调递增0)]1([21)(<'---='e a t t S 对)2,1(-∈a t 成立，)(t S 单调递减所以当1-=a t 时，)(t S 取得最大值121)1(-=-a e a S令e e a S a ≥=--121)1(，解得22ln +≥a 所以322ln <≤+a 综上所述，a ≤+22ln 8. 解：（1）21)(),0(22ln )(2--='>--=ax xx h x x x a x x h ， 若使)(x h 存在单调递减区间，则021)(<--='ax xx h 在),0(+∞上有解， 而当0>x 时，x x a x ax ax x 21210212->⇔->⇔<--问题转化为21xa >－x 2在),0(+∞上有解，故a 大于函数xx 212-在),0(+∞上的最小值， 又x xx x x 21,1)11(21222---=-在),0(+∞上的最小值为－1，所以1->a 。