43.21086
2.756024 0 0 0 0 0 1.476934 0
29
30 31 32 33 34 35 36 37
65.82037
60.15786 114.829 130.8468 105.1063 78.59089 93.19428 78.55582 82.48832
0
0 26.82896 42.84677 17.10626 0 5.194279 0 0
100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 价格 40 50 60 70
3). 模拟步骤
用蒙特卡罗模拟方法计算期权价格的过程： (1) 输入资产及期权的有关参数 S 0 , S X , T , , , r, 时 n 段数n和模拟次数m，并计算 t T /； (2) 关于 i 1,2,, m 作下列模拟和计算：
13 14 15 16 17 18 19 20
130.7688 87.83761 62.89268 79.57162 91.73871 66.88669 75.17505 70.62426
42.76877 0 0 0 3.738708 0 0 0
38 39 40 41 42 43 44 45
87.75519 78.61444 86.31097 91.21032 77.66045 93.91685 81.63916 81.54932
S k 1 S k exp( t z t ), k 0,1,, n 1
从 S 0开始模拟得 S T S n CT max{ ST S X ,0} 或 PT max{ S X ST ,0}
增加模拟次数，使得模拟所得的股票在 期权到期日的价格尽可能好地复盖实际 的价格分布。
模拟次数 到期日价值 期权的价格
C E[CT ]
100 7.66 6.86
200 9.37 8.39
300 8.88 7.95
500 9.78 8.76
随着模拟次数的增加，由模拟所得的期权价格同用 布莱克—舒尔斯模型计算的期权价格越来越接近， 这反映随着模拟次数的不断增多，模拟所得的股票 价格越来越接近股票价格的真实分布。
1). 基本原理
根据资产价格呈对数正态分布的假设， 模拟出资产在期权持有期内的不同的价 格走势，得到资产在期权到期日的不同 价格分布，由此根据期权在资产不同价 格下的价值得到期权在到期日的价值分 布，再取期权在到期日价值的均值作为 期权的价格。
假定资产价格呈对数正态分布 已知资产在时间 t (0 t T )的价格 St 资产在时间 t t 的价格为
St t St exp(t z t )
将期权的持有期T分成n个间隔相等的时 段 t T / n，从资产在期权签约日的价 格开始 S 0 ，重复利用上述公式n次可得 资产在期权到期日的一个价格 ST ,由资 产的这个价格估计可得期权在到期日的 一个价值 估计.
买入期权的价值估计式
1
2 3
96.71493
86.69949 79.92797
8.714933
0 0
26
27 28
99.23675
129.963 148.2776
11.23675
41.96297 60.27763
4
5 6 7 8 9 10 11 12
131.2109
90.75602 77.14289 82.56374 70.92131 79.33796 85.42295 89.47693 78.94285
T
ln(80 / 88) (0.11 0.252 / 2) 0.1838 0.25
d2 d1 T 0.0662
N (d1 ) 0.5729
N (d 2 ) 0.4736
rT
C S0 N (d1 ) S X e
N (d 2 ) 8.497
两者之间有较大的差距 , 原因在于模拟的次数 只有50次，所得的股票在到期日的价格不能 很好地复盖股票在到期日的实际价格分布。
设一年有250个工作日，将其分为250 个相等的时段，即有 t 1/ 250
0.08
0.25
S0 80
St t St exp( t z t )
S0 S1 S2
ST 1 ST
次数
股票价格 期权价值
C S0
12.53786
计算模拟所得的期权价值的平均值后， 再计算现值得期权价格的一个估计
C E[CT ]e
rT
7.000053 e
0.11
6.27
用布莱克—舒尔斯模型计算期权的价格
C S0 N (d1 ) S X e
rT
N (d 2 )
d1
ln( S0 / S X ) (r 2 / 2)T
80 70 60 50
频率
40 30 20 10 0 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 158
价格
模拟所得期权价值分布
200 180 160 140 120
频率
模拟所得股票价格分布 (已具备对数正态分布的 特征 ) 300次模拟所得的股 票价格分布和期权价 值分布的直方图
CT max{ST S X ,0}
卖出期权的价值估计式
P T max{S X ST ,0}
重复作这样的模拟m次，可得期权m个可 能的价值，再取它们的均值即可得期权 的一个价格估计.
C E[CT ]e
rT
P E[ PT ]e
rT
2). 基本过程
例：设有这样一个股票，其现行的市场 价格为80元，已知该股票对数收益的均 值为8%，对数收益的波动性为25%， 无风险资产的收益率为11%。现在有以 该股票为标的资产, 执行期限为1年的买 入期权，确定的股票执行价格为88元， 用模拟法确定该期权的价格。
0 0 0 3.210317 0 5.916854 0 0
21
22 23
74.25586
70.2892 69.91536
0
0 0
46
47 48
74.15813
105.5507 77.92296
0
17.55074 0
24
25
90.66702
77.86832
2.667019
0
49
50
81.99887
100.5379