高一年级期末考试数 学 试 卷1已知ABC a b c A B C ∆中，、、分别为角、、的对边7,23c C π=∠=,且ABC ∆的面积为332，则a b +等于 211。

2已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝log n (n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)．定义：使乘积a 1·a 2·a 3……a k为正整数的k (k ∈N *)叫做“和谐数”，则在区间[1，2019]内所有的“和谐数”的和为20363．已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)，则它的前n 项和S n ＝_____2932n n +_____．4数列1, 12, 124,, 1242n +++++++，的前n 项和为 n n --+2215、管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中。

10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条。

根据以上数据可以估计该池塘有 750 条鱼。

6.右面是一个算法的伪代码.如果输入的x 的 值是20，则输出的y 的值是 150 ．第6题7．2019年4月14日清晨我国青海省玉树县发生里氏7.1级强震。

国家抗震救灾指挥部迅速成立并调拨一批救灾物资从距离玉树县400千米的某地A 运往玉树县，这批救灾物资随17辆车以v 千米/小时的速度匀速直达灾区，为了安全起见，每两辆车之间的间距不得小于2)20(v 千米。

则这批救灾物资全部运送到灾区所需要的时间最短时车辆行驶的速度为___100=v _______（千米/小时）．8．已知实数、、a b c 满足条件1ab bc ca ++=，给出下列不等式： ①2222221a b b c c a ++≥；②123abc≥；③2()2a b c ++>；④22213a bc abc abc ++≤；Read xIf x ≤5 then y ←10x Elsey ←7.5x End if Print y其中一定成立的式子有_________．8．③④[提示]：33a b c ===时排除①；2a =，3b =，1c =-时排除②；而2()a b c ++2222()3()3a b c ab bc ca ab bc ca =+++++≥++=2>，∴③成立；2()ab bc ca ++2223[()()()()()()]3()ab bc bc ca ca ab a bc ab c abc ≥++=++，∴④成立．9设1,1,,>>∈b a R y x ，若82,2=+==b a b a yx，则yx 11+得最大值 3 ． 10已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.5,10.5a b == ．11已知等差数列{}{},n n a b 的前 n 项和为 S n , T n ,若对于任意的自然数 n ，都有23,43n n S n T n -=-则935748a a b b b b +++ = 4119．12从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是3413在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列}{n a ,已知122a a =,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为 16014设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ，若不等式22212n n S a a nλ+≥对任意{}n a 和正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为15.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．步骤．．） 15为了了解某中学学生的体能情况，体育组决定抽样三个年级部分学生进行跳绳测试，并将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如下图）.已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数是5. (1) 求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数； (2) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？(3) 参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？16有一个容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：[)5.15,5.12 3 [)5.18,5.15 8 [)5.21,5.18 9 [)5.24,5.21 11 [)5.27,5.24 10 [)5.30,5.27 5 [)5.33,5.30 4(1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图(3)根据频率分布直方图估计，数据落在[)5.24,5.15的可能性约是多少？ 16 解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010100300n =+,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以40010005m=,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710. (3)样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为75.086=.17、上海某学校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加即将在上海举行的世博会的志愿服务工作.(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.17、解：把4名获书法比赛一等奖的同学编号为1，2，3，4，2名获绘画比赛一等奖的同学编号为5，6. 从6名同学中任选两名的所有可能结果如下：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)，共15个.(1) 从6名同学中任选两名，都是书法比赛一等奖的所有可能是：(1,2),(1,3),(1,4), (2,3),(2,4),(3,4),共6个.∴选出的两名志愿者都是书法比赛一等奖的概率162. 155p==(2) 从6名同学中任选两名，一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的所有可能是： (1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6)，共8个.∴选出的两名志愿者一名是书法比赛一等奖，另一名是绘画比赛一等奖的概率是28. 15p=18如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，⑴要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？⑵当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．D CN PMBA18解：⑴设AN 的长为x 米(x ＞2)，∵||||||||AM DC AN DN =，∴|AM |＝23-x x......... 2分 ∴AMPN S ＝|AN |•|AM |＝232-x x ，由AMPN S ＞32得232-x x ＞32，∵x ＞2，∴3x 2－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0∴382<<x 或x ＞8，即AN 长的取值范围是),8()38,2(∞+⋃ ............ 6分⑵12212)2(3212)2(12)2(32322+-+-=-+-+-=-=x x x x x x x y2412212)2(32=+-⋅-≥x x ..................................................................... 10分 当且仅当212)2(3-=-x x ，即x ＝4时，y ＝232-x x 取得最小值．即AMPN S 取得最小值24(平方米) .............................................................. 12分19已知函数()2log f x m x t =⋅+的图像经过点()4,1A 、点()16,3B 及点(),n C S n ,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，*n N ∈。

（1）求n S 和n a ；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，()1n n b f a =-，不等式n n T b ≤的解集，*n N ∈（1） 由.1,13412⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+t m t m t m 1分所以f(x)= log 2x – 1 .由条件得: n = log 2S n – 1 .得: )(21*+∈=N n S n n , 1分n n n n n n S S a n 222,211=-=-=≥+-时当,4,11===S a n n 时当,所以 ⎩⎨⎧=∈≥=时当时当14,22n N n n a n n . 2分（2） 0,111===T b n 时当, 不等式成立. 1分,2时当≥n b n = f(a n ) – 1= n – 2 ,.2232)1)(20(02+-=--++=n n n n T n02)3)(2(265)2(22322≤--=+-=--+-=-n n n n n n n b T n n ,解得: .32≤≤n 3分=∴∈*n N n ,2,3 1分所求不等式的解集为{1, 2，3 }. 1分20已知点)31,1(是函数x a x f =)((a ＞0，且a ≠1)的图像上一点.等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ．数列{b n }(b n ＞0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足)2(11≥+=---n s s s s n n n n ．⑴求数列{a n }和{b n }的通项公式；⑵若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和为T n ，问满足20111000>n T 的最小正整数n 是多少？解：⑴31)1(==a f ，∴x x f )31()(= .................................................................... 1分 c c f a -=-=31)1(1，92])1([])2([2-=---=c f c f a ， 272])2([])3([3-=---=c f c f a ． 又数列{a n }成等比数列，c a a a -=-=-==31322728143221，所以c ＝1；又公比3112==a a q ，所以*)31(2)31(321N n a n n n ∈-=-=-.................. 4分 )2())((1111≥+=+-=-----n S S S S S S S S n n n n n n n n又b n ＞0，n S ＞0，∴11=--n n S S ；数列}{n S 构成一个首相为1公差为1的等差数列，n n S n =⨯-+=1)1(1， S n ＝n 2，当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1；∴b n ＝2n －1(n ∈N *) .................................................................................. 8分())12()12(1751531311111121433221+⨯-++⨯+⨯+⨯=++++=+n n b b b b b b b b T n n n＝)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+--++-+-+-n n ＝12)1211(21+=+-n n n由2011100012>+=n n T n 得n ＞90 满足20111000>n T 的最小正整数为91 ........................................................... 12分。