四川省宜宾市第四中学校2021-2022高二数学下学期期中试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数3i1iz +=-，则z = A ．1B ．2C ．5D ．52．已知命题p ：∀x∈R，2x ＞0，那么命题¬p 为 A ．∃x∈R，2x ＜0B ．∀x∈R，2x ＜0C ．∃x∈R，2x≤0D ．∀x∈R，2x≤03．下列求导运算正确的是.A ．23111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ B ．(2)2ln 2x x '= C ．2(sin )2cos x x x x '= D ．1(ln 2)2x x'=4．随机变量2~(2,3)X N ，且(1)0.20P X <=，则(23)P X <<=A ．0.20B ．0.30C ．0.70D ．0.805．若l m n 、、是互不相同的空间直线，αβ、是不重合的平面，则下列命题中真命题是A ．若//l m αβαβ⊂⊂，，，则//l mB ．若l αβα⊥⊂，， 则l β⊥C ．若l β⊥，//l α，则αβ⊥D ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l m6．5个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有A ．120种B ．80种C ．48种D ．20种7．执行如图所示的程序框图，输出的值是 A ．4 B ．5C ．6D ．78．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线212y x =的准线上，则此双曲线的方程为A ．22156x y -=B ．22175x y -=C ．22136x y -=D ．22143x y -=9．函数()[]()2cos 2,21x xf x x x =∈-+的大致图象是 A ．B ．C ．D ．10．在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为,a b ,则函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率 A ．18π-B ．14π-C ．34D ．4π 11．已知函数()()2321ln 3422f x x x ax x a a a a R =--+--+∈存在两个极值点.则实数a 的取值范围是A ．()0∞，+B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()2()xf x f x '>，则不等式24(2019)(2019)(2)0f x x f ---<的解集为A ．(0,2021)B ．(2019,2021)C ．(2019,)+∞D ．(,2021)-∞第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．833()2x x -的展开式中的常数项是__________． 14．函数()()2212f x x =-+的极值点是_____________________15．二面角l αβ--的大小是60︒，线段AB α⊂，B l ∈，AB 与l 所成的角45︒，则AB 与平面β所成的角的正弦值是__________．16．若函数(1)()ln 1a x f x x x -=++在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知函数31()443f x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 在[]0,3上的最值；（II ）对任意[]12,0,x x m ∈，1216()()3f x f x -≤恒有成立，求实数m 的取位范围.18．（12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有40人，不超过100km /h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有20人，不超过100km /h 的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5％的把握认为平均车速超过100km /h 的人与性别有关．平均车速超过100km /h 人数平均车速不超过100km /h 人数 合计男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计（II ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望． 参考公式与数据：()20P K k ≥ 0.150 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 19．（12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D E F ，，分别是11A B 、1CC 、BC 的中点，11AE A B ⊥，12AA AB AC ===．（Ⅰ）证明：AB AC ⊥；（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E ，试问直线AE （A 为抛物线C 上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.21．（12分）已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当1a =时，证明：()21f x x x ≤+-；（Ⅲ）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中e≈2.7183为自然对数的底数）（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C 的参数方程是cos x a y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ （ϕ是参数，0a > ），直线l 的参数方程是31x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 是参数），曲线C 与直线l 有一个公共点在x 轴上，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（I ）求曲线C 的极坐标方程；（II ）若点1(,)A ρθ，22(,)3B πρθ+，34(,)3C πρθ+在曲线C 上，求222111OA OB OC ++的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()1f x x a x =-+-.（I ）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （II ）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.2021年春四川省宜宾市第四中学高二期中考试理科数学参考答案1．C 2．C 3．B4．B5．C6．D7．B8．C9．A10．B11．B 12．B13．631614．1x =-或1或015．616．2a ≤17．（1）因为31()443f x x x =-+，所以2()4f x x =-'，令()0f x '=，解得2x =-或2x =， 因为()f x 在[0]3，上，所以()f x 在[0]2，上单调递减；在](23，上单调递增， 又因为(0)4f =，4(2)3f =-，(3)1f =， 所以，当0x =时，()f x 的最大值为4；当2x =时，()f x 的最小值为43-. （2）因为416433⎛⎫--= ⎪⎝⎭，结合()f x 的图象： 令()04f x =，解得023x =， 所以m 的取值范围是(0,23]. 18．（Ⅰ）平均车速超过100/km h人数 平均车速不超过100/km h 人数 合计男性驾驶员人数 40 15 55 女性驾驶员人数 20 25 45 合计6040100因为()22100402515208.4297.87960405545x ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5％的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆的概率为4021005=．X 可取值是0，1，2，3，23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，有： ()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()21232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333238353125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为 X123P27125 54125 36125 8125()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（Ⅰ）因为11AE A B ⊥，11//A B AB ，所以AB AE ⊥，又侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AB AA ⊥，1AE AA A =，所以AB ⊥平面11A ACC ，而AC ⊆平面11A ACC ， 所以AB AC ⊥．（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可知1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，AB AC ⊥，以A 为原点，1AB AC AA ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,1)E ，(1,1,0)F ，1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(1,0,2)D ， 所以()1,2,1DE =--，()0,1,2DF =-，设面DEF 的法向量为(,,z)n x y =，则由0,0n DE n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20,20y z x y z -=⎧⎨-+-=⎩即2,3,y z x z =⎧⎨=⎩令1z =得(3,2,1)n =．又由题可知面ABC 的法向量(0,0,1)=m ．所以|||cos ,|||||m n m n m n ⋅〈〉===故平面DEF 与平面ABC． 20．（Ⅰ）由题意知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0(0)D t t >，则FD 的中点为2,04p t +⎛⎫⎪⎝⎭， 因为FA FD =，由抛物线的定义知：322p pt +=-，解得3t p =+或3t =-（舍去）， 由234p t+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x = (II)由（Ⅰ）知()1,0F ，设()000,(0)A x y x >，(),0(0)D D D x x >，因为FA FD =，则011D x x -=+，由0D x >得02D x x =+，故()02,0D x +，故直线AB 的斜率为02AB y k =-，因为直线1l 和直线AB 平行，故可设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=，由题意知20064320b y y ∆=+=，得02b y =-.设(),E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =，当204y ≠时，0020044E AE E y y y k x x y -==--， 可得直线AE 的方程为()0002044y y y x x y -=--， 由2004y x =，整理可得()020414y y x y =--，所以直线AE 恒过点()1,0F ，当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点()1,0F ，所以直线AE 恒过定点()1,0F .21．（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()222a a x f x x x x+'=+=①当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增,②当0a <时，令()0f x '=，解得：x =当0x <<时，()0f x '<， 所以()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >() 0f x '>，所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增, 综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增;（2）当1a =时，()2ln f x x x =+，要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即ln 10x x -+≤,设()ln 1g x x x =-+则()1xg x x-'=，令()0g x '=得，1x =,当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<所以1x =为极大值点，也为最大值点所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤故当1a =时，()21f x x x ≤+-;（3）由（2）ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立）,令()112nx n N *=+∈， 则 22111ln 1112nn n ⎛⎫⎛⎫+≤+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以22111221111111ln 1ln 1ln 111ln 1222222212nnn n e ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦++++⋅⋅⋅++≤++⋅⋅⋅+==-<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-,即2111ln 1ln 1ln 1ln 222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 22．（Ⅰ）∵直线l 的参数方程是31x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数），消去参数t 得x +y ＝2，令y ＝0，得x ＝2．∵曲线C 的参数方程是x acos y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数，a ＞0），消去参数ϕ得22213x ya +=，把点（2，0）代入上述方程得a ＝2．∴曲线C 普通方程为22143x y +=．（Ⅱ）∵点()1232433A B C ππρθρθρθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，在曲线C 上，即A （ρ1cosθ，ρ1sinθ），222233B cos sin ππρθρθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，334433C cos sin ，ππρθρθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在曲线C 上， ∴222222222222123111111124124||||||433333cos cos cos sin sin sin OA OB OC ππππθθθθθθρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =484812121212112112333342223222cos cos cos cos cos cos ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪+++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=232223222333386cos cos cos cos cos cos ππππθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++--++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=337868+=． 23．（1）由题意得出关于x 的方程()3f x =的两根分别为0和3，则()()0333f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13323a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得2a =； （2）当2a =时，由绝对值三角不等式得()21211f x x x x x =-+-≥--+=， 又()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，所以11422n n +≥--，令2n t =，化简得2230t t --≤，解得3t ≤，所以2log 3n ≤，实数n 的取值范围为(]2,log 3-∞.。