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2004年江苏专转本高等数学真题(附答案)

2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分.)
1、[](]
⎩⎨⎧∈--∈=2,00,3)(3
3
x x
x x x f ,是: ( )
A 、有界函数
B 、奇函数
C 、偶函数
D 、周期函数
2、当0→x 时,x x sin 2
-是关于x 的 ( ) A 、高阶无穷小
B 、同阶但不是等价无穷小
C 、低阶无穷小
D 、等价无穷小
3、直线L 与x 轴平行且与曲线x
e x y -=相切,则切点的坐标是 ( ) A 、()1,1
B 、()1,1-
C 、()1,0-
D 、()1,0
4、2
2
2
8R y x =+设所围的面积为S ,则dx x R R

-220
228的值为 ( )
A 、S
B 、
4S C 、
2
S D 、S 2
5、设y
x y x u arctan
),(=、2
2ln ),(y x y x v +=,则下列等式成立的是 ( ) A 、
y v x u ∂∂=∂∂ B 、
x
v x u ∂∂=∂∂ C 、
x
v y u ∂∂=∂∂ D 、
y
v y u ∂∂=∂∂ 6、微分方程x
xe y y y 22'3''=+-的特解*
y 的形式应为 ( )
A 、x
Axe 2
B 、x
e B Ax 2)(+ C 、x
e
Ax 22 D 、
x e B Ax x 2)(+
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)
7、设x
x x x f ⎪⎭

⎝⎛++=32)(,则=∞
→)(lim x f x 8、过点)2,0,1(-M 且垂直于平面2324=
-+z y x 的直线方程为
9、设)()2)(1()(n x x x x x f +++= ,N n ∈,则=)0('
f 10、求不定积分
=-⎰
dx x
x 2
31arcsin
11、交换二次积分的次序
=⎰

-dy y x f dx x x 21
2
),(
12、幂级数∑∞
=-1
2)1(n n
n
x 的收敛区间为 三、解答题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分) 13、求函数x
x
x f sin )(=
的间断点,并判断其类型. 14、求极限)
31ln()1()sin (tan lim
2
2
x e
dt
t t x x
x +--⎰→.
15、设函数)(x y y =由方程1=-y
xe y 所确定,求
22=x dx y
d 的值.
16、设)(x f 的一个原函数为x
e x
,计算⎰dx x xf )2('.
17、计算广义积分
dx x x ⎰
+∞-2
1
1.
18、设),(xy y x f z -=,且具有二阶连续的偏导数,求x z ∂∂、y
x z
∂∂∂2.
19、计算二重积分
dxdy y y
D
⎰⎰sin ,其中D 由曲线x y =及x y =2所围成. 20、把函数2
1
)(+=
x x f 展开为2-x 的幂级数,并写出它的收敛区间. 四、综合题(本大题共3小题,每小题8分,满分24分) 21、证明:
⎰⎰
=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,并利用此式求dx x
x
x
⎰+π
2
cos 1sin .
22、设函数)(x f 可导,且满足方程
)(1)(2
x f x
dt t tf x
++=⎰,求)(x f .
23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧,甲城位于岸边,乙城离河岸40公里,乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里,两城计划在河岸上合建一个污水处理厂,已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。

问污水处理厂建在何处,才能使铺设排污管道的费用最省?
2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A
2、B
3、C
4、B
5、A
6、D
7、1
-e 8、
3
2
241-+==-z y x 9、!n
10、
C x +4arcsin 4
1
11、
dx y x f dy dx y x f dy y
y

⎰⎰

-+20
2
1
1
),(),(
12、()3,1-
13、间断点为πk x =,Z k ∈,当0=x 时,1sin lim
)(lim 00
==→→x
x
x f x x ,为可去间断点;当
πk x =,0≠k ,Z k ∈时,∞=→x
x
x sin lim
0,为第二类间断点.
14



2411221lim 12)sin 1(tan lim 12sin tan lim 3)sin (tan lim 3203030400=⋅=-=-=-=→→→→⎰x
x x x x x x x x x dt t t x x x x
x . 15、0=x 代入原方程得1)0(=y ,对原方程求导得0''=--y xe e y y
y
,对上式求导并将
0=x 、1=y 代入,解得:22''e y =.
16、因为)(x f 的一个原函数为x e x
,所以2'
)1()(x e x x e x f x
x -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=, ⎰dx x xf )2('
⎰⎰==
)2(21)2()2(21'
x xdf x d x xf ⎰-=dx x f x xf )2(2
1)2(21 C x e x
e x x x d x
f x xf x x +--=-=⎰88)12()2()2(41)2(2122
2C e x x x
+-=241 17、
2
arctan 21
1
2)1(211
11
121
22
π
=
=+=+-=-∞
++∞+∞
+∞
⎰⎰

t dt t dt t t t x t dx x x
18、
y f f x
z
⋅+=∂∂'2'1; []
x f f y f x f f y
x z ⋅+-⋅++⋅+-⋅=∂∂∂'
'22''21'2''12''112)1()1(
'2'
'22''12''11)(f xyf f y x f ++-+-=
19、原式dy y y dx y y dy dxdy y y
y y D
⎰⎰⎰⎰⎰-===1010sin )1(sin sin 2 1sin 1cos cos )1(1
10-=--=⎰ydy y y
20、n n
n n x x x x f 4)2()1(414
2114
1241)(0--=-+
⋅=-+=
∑∞=,)62(<<-x 21、证明:令x t -=π,
⎰⎰⎰
-=---=π
π
π
πππ0
00
)(sin )()(sin()()(sin dt t f t dt t f t dx x xf
⎰⎰-=π
π
π0
)(sin )(sin dx x xf dx x f



=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,证毕.
4)arctan(cos 2cos 1sin 2cos 1sin 20020
2ππππππ
=-=+=+⎰⎰
x dx x x dx x
x x 22、等式两边求导的)(2)('
x f x x xf +=即x x xf x f 2)()('
-=-且1)0(-=f ,x p -=,
x q 2-=, ⎰-=2
2x pdx ,22
e pdx e e
-=⎰,22
x pdx e e =⎰-, 2
2
2222x x pdx
e
dx xq
dx qe
-
-
=-=⎰
⎰⎰
所以2
2
2
2222)2()(x x x Ce e C e x f +=+=--,由1)0(-=f ,
解得3-=C ,2
232)(x e
x f -=
23、设污水厂建在河岸离甲城x 公里处,则
22)50(40700500)(x x x M -++=,500≤≤x ,
0)
50(40)
50(22170050022'=-+-⨯⨯+=x x M
解得6
50050-=x (公里),唯一驻点,即为所求.。

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