j k
可见，假设某个模型在当前时刻有效条件下，IMM 算法通过混合前一时刻 所有滤波器的状态估值来获得与这个特定模型匹配的滤波器初始条件;接着所有 模型滤波器并行滤波，得到各自的状态估计:然后以模型匹配似然函数为基础更 新模型概率，并组合所有滤波器修正后的状态估计值得到最终的结果。IMM 算 法中模型有效概率在状态估值和协方差的加权综合计算中具有重要的作用。 下面从 3 个方面来讨论 IMM 滤波算法的主要特性。 l)模型误差与测量误差在残差中所占的比重对 IMM 算法的影响。 在 IMM 滤 波算法中， 模型概率的估计主要受马尔可夫链状态转移概率和残差的影响。残差 可以简单地认为由模型误差和测量误差两部分组成。 模型误差是指模型描述目标 真实运动的准确程度。下面从 4 个方面进行说明: (a)随着测量误差的增大，滤波器的收敛时间逐渐增加，在初始阶段不能正 确反映目标的运动状态。 (b)在目标作常速度运动阶段，测量噪声增大的影响要大于目标机动运动阶 段。 (c)随着测量误差的增大，模型概率跳转过程中出现的滞后现象越来越严重。 (d)模型误差在残差中所占的比重远远大于测量误差，因此，模型概率的变 化主要受模型误差的影响。
5
链实现不同模型的转换其原理如图所示
图 2.1 IMM 算法原理图 在交互式多模型算法中，设目标有 r 种运动状态，对应 r 种运动模型，记为 m1m2 mr 。对多模型滤波估计，设第 i 个模型 mi 表示的目标状态方程为: X k (k= + 1) Fi X i (k ) + Gi vi (k ) 量测方程为: = Z i (k ) H i X i (k ) + wi (k ) 式中 X i (k ) 为 k 时刻目标状 H i 态矢量； Z i (k ) 为传感器在 k 时刻对目标的量测 信息；Fi 为状态转移矩阵；Gi 为过程噪声加权矩阵； 为观测矩阵； 过程噪声 vi (k ) 和测量噪声 wi (k ) 均为零均值高斯白噪声。设测量噪声的协方差矩阵为已知的 Ri (k ) ，过程噪声的协方差矩阵为未知的 Qi (k ) 。 各模型之间在不同时刻按照状态转移概率矩阵己知的齐次马尔可夫链进行 切换，转移概率可以表示为 = π ij P{m = (k ) m j | m(k= − 1) mi } ，状态转移概率矩阵 记为 Π ={π ij } ， 每一种运动模型都与一个卡尔曼滤波器相匹配来估计当前模型下
I3
T
T 2 Γ = I 3 TI 3 2
T 为采样时间， w(k ) 为 k 时刻的加速度增量，
w(k ) = [ w1k w2 k w3k ]T
w1k ， w2 k ， w3k 为相互独立的高斯白噪声。因此状态噪声协方差阵为
2 T Q= E[Γw(k ) w(k )ΓT ] = Γσ w Γ
研究的实例是一个二维平面的雷达，雷达可以探测到目标的径向距离和 方位角（如下图所示） 。这个问题属于单目标跟踪问题，一般来说，如果目标做 匀速直线运动时，跟踪问题十分容易；但当目标做机动时，由于无法准确预知目 标下一时刻的运动状态， 使得跟踪变得很困难。这就需要发展合适的目标运动模 型，现在的各种模型大致分为单模型和多模型方法，由于多模型较为复杂，这里 我们仅对单模型方法进行讨论。常用的单模型有匀速模型（CV） 、匀加速模型 （CA） 、Signer模型和均值自适应的“当前”统计模型（CS） ；多模型有交互式 多模型（IMM） 。现实世界中的大部分运动目标都存在各种机动，目标做匀速直 线飞行的概率很小，采用CV模型一般是不可取的，只有当目标做匀速直线飞行 或者近似匀速直线飞行时才能取得很好的效果。机动强度不大时，可以采用CA 模型或者Singer模型； 机动强度较大时， 采用CS模型后IMM可以取得较好的效果。 这里我们采用CA模型和交互式多模型。 雷达对目标的量测并不真实准确，而是存在一定的随机噪声干扰，一般假设 噪声符合高斯分布。目标跟踪一般在混合坐标系下进行，此时雷达的量测值是距 离和角度信息，而状态量一般为位置、速度和加速度。那么量测方程就是非线性 的，这就需要采用非线性滤波方法，常用的非线性滤波方法有扩展卡尔曼滤波 （EKF） 、不敏卡尔曼滤波（UKF）和粒子滤波（PF） 。EKF算法是较早发展的非 线性滤波算法，该算法是利用非线性方程在预测值附近泰勒展开，忽略高阶项得 到线性化的方程。 UKF滤波的基本思想是认为近似非线性函数的分布要比近似非 线性函数本身要容易，该算法基于UT变换来近似非线性函数的分布然后采用标 准卡尔曼滤波算法的框架，相对于EKF算法，UKF具有以下优点： 。PF算法采用 随机采样策略，需要的计算量较大，本文没有采用该算法。
X j (k | k ) 及协方差 Pj (k | k ) 。
3. 模型概率更新： 似然函数：
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(k );0, S ] L j (k ) = N [ Z j j
概率模型：
µ j (k ) =
µ j (k | k − 1) L j (k ) ∑ m ∈M µi (k | k − 1) Li (k )
1 4 4 T I3 1 = T 3 I3 2 1 T 2 I3 2
2
1 3 T I3 2 T 2 I3 TI 3
1 2 T I3 2 2 TI 3 σ w I3
这里 σ w 应该在 [∆a / 2, ∆a ] 之间，其中 ∆aT 为加速度增量的最大幅值。 2.1.3 交互式多模型 采用多模型算法是为了适应目标的机动变化， 针对不同的运动状态建立相应 的模型滤波器。该算法首先由 Magill D T 提出，主要特点是使用多个模型，基于 各个模型的滤波器并行工作， 然后对其输出进行融合， 但各个模型之间没有交互。 后来建立起来的交互算法如广义贝叶斯(GPB)估计的基本形式由 Ackerson G A 等 人提出，随后的一般形式由 Jaffer A G 等人提出。GPB 算法中各个模型的输入是 相同的，均为全局输出的反馈，即认为各个模型均与目标的运动状态相符，也就 是说没有使用模型信息，没有考虑各模型的特点。在 1988 年，Ba-Shalom 又提 出 IMM(交互式多模型)算法。 IMM 算法较 GPB 算法的突破性提高就在于它考虑 了模型的特点，认为在某一时刻只有一个模型与目标的实际运动状态相匹配。 IMM 算法的实质是对多个单独模型跟踪的估计值加权求和，得到组合状态 估计， 其中模型有效的概率在状态和误差协方差组合中起加权作用，用马尔可夫
1 4 4 T I3 2 T Γσ w Γ = Q= E[Γw(k ) w(k )ΓT ] = 1 T 3I 3 2
1 3 T I3 2 2 σ w T 2 I3
2 这里 σ w 应该在 [aM / 2, aM ] 之间，其中 aM 为加速度的最大幅值。
2.1.2 CA 模型 取状态变量为
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的状态变量，如 m j 对应滤波器 j ， r 个滤波器同时并行工作，当前任一滤波器的 输入都是前一时刻 r 个滤波器输出的混合值。 k 时刻的状态估计是当前多个滤波 器获得的状态变量的加权和。 交互式多模型算法是一种递归算法，算法的每一个循环过程包括以下几步： 输入交互、滤波、模型概率更新和输出综合。设 IMM 模型转移矩阵为 Π ，模型 则 IMM 算法一个采样周期， 记为 IMM [ M k , M k −1 ] 。 i 初始模型概率 µi (k − 1| k − 1) 。 其中 M k 为 k 时刻模型集， M k −1 为 k − 1 时刻的模型集。则该算法的一个循环过程 经推导后其数学表达式如下所示。对任意模型 m j ∈ M k ，具体步骤如下： 1. 模型条件初始化和重新初始化 预测模型概率：
[ Pi (k − 1| k − 1) + ( X i (k − 1| k − 1) − X 0 j ( k ))
T ( X i (k − 1| k − 1) − X 0 j ( k )) ]µij
式中 X i (k − 1| k − 1) 为滤波器 i 在 k 时刻的输出，即在已知量测 Z k −1 条件下对 目标状态的估计， Pi (k − 1| k − 1) 为其对应的协方差矩阵。 2. 模型条件滤波。把上两式得到的滤波结果作为下一时刻与模型 m j 相匹配 的输入变量， 然后每个滤波器按照各自的算法进行状态滤波得到各自的状态估计
i k
(k ) 、S 分别为 k 时刻模型 j 的新息及其协方差；N [ x; x , σ 2 ] 表示随机 其中 Z j j
变量 x 服从均值为 x ，方差为 σ 2 的正态分布。 4. 组合 总体估计：
X (k | k ) ≅ ∑ m ∈M X j (k ) µ j (k )
i k
总体协方差： P(k | k ) ≅ ∑ m ∈M [ Pj (k | k ) + ( X j (k | k ) − X (k ))( X j (k | k ) − X (k ))T ]µ j (k )
X (k + 1) = ΦX (k ) + Γw(k )
式中
T 2 I TI 3 Φ = 3 Γ = I 3 TI 3 0 I3 ， 2 ， w(k ) = [ w1k
w2 k
w3k ]T
其中 T 为观测周期； I 3 为 3 × 3 的单位阵， w1k ， w2 k ， w3k 为相互独立的高斯 白噪声。 状态噪声方差阵为
8
2)构成滤波器的目标运动模型的选取。可从 3 个方面进行说明: (a)选择一定个数的 IMM 滤波器，包括较为精确的模型和较为粗糙的模型。 IMM 滤波算法不仅描述了目标的连续运动状态，而且描述了目标的机动 出现。 b)马尔可夫链状态转移概率的选取对 IMM 滤波器的性能有较大影响。马尔 可夫链状态转移概率矩阵实际上相当于模型状态方程的状态转移矩阵， 它将直接 影响模型误差和模型概率估计的准确性。一般情况下，当马尔可夫链状态转移概 率呈现一定程度的模糊性时，IMM 滤波器能够更能准确地描述目标运动。 (c)IMM 滤波算法具有模块化特性。当对目标的运动规律较为清楚时，滤波 器可以选择能够比较精确地描述目标运动的模型 ; 当无法预料目标的运动规律 时，就应该选择更一般的模型，即该模型应具有较强的包容性。 3)IMM 滤波器抗干扰的能力。假设 IMM 滤波器中的每一个模型对应一个传 感器， 如果某一传感器因受外界干扰而测量误差变大时，这一传感器所对应的模 型概率将变小，那么 IMM 滤波器的输出将更多的继承自没有被干扰的传感器， 因此 IMM 滤波器将具有一定抗干扰能力。由不同目标运动模型构成的 IMM 滤 波器具有不同的抗干扰能力，目标运动模型越粗糙，抗干扰能力越强，位置估计 误差和速度估计误差也越小。 2.2 观测方程构建 量测方程可由下式给出：